Упр.2.71 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Решаем неравенства методом интервалов. Нули каждого множителя отмечаем на числовой прямой, при нечётной степени знак выражения меняется, при чётной — не меняется. Для строгих неравенств точки, в которых выражение равно нулю, не включаем.

1. $$\left(x-1\right)^3\left(x+2\right)^2\left(x-4\right)>0$$

   Нули: $$x=-2,\;1,\;4.$$

   Знак меняется в точках $$-2,\;1,\;4$$ только из-за множителей нечётной степени. Получаем:

   $$x\in(-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(4,+\infty).$$

2. $$\left(x-3\right)^2\left(x-5\right)^3\left(x+1\right)<0$$

   Нули: $$x=-1,\;3,\;5.$$

   Чётная степень у множителя $$\left(x-3\right)^2$$ знак не меняет, нечётные степени у остальных множителей меняют знак. Тогда

   $$x\in(-1,3)\cup(3,5).$$

3. $$\left(x+3\right)\left(x+4\right)^2\left(x+5\right)^3<0$$

   Нули: $$x=-5,\;-4,\;-3.$$

   Знак меняется в точках $$-5$$ и $$-3$$, а в точке $$-4$$ не меняется. Поэтому

   $$x\in(-5,-4)\cup(-4,-3).$$

4. $$\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3>0$$

   Нули: $$x=1,\;2,\;3.$$

   Знак меняется в точках $$1$$ и $$3$$, а в точке $$2$$ не меняется. Получаем

   $$x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty).$$

5. $$\left(x+5\right)^5\left(x-2\right)^2\left(x+4\right)^4>0$$

   Нули: $$x=-5,\;-4,\;2.$$

   Чётные степени у множителей $$\left(x-2\right)^2$$ и $$\left(x+4\right)^4$$ знак не меняют, поэтому знак определяется множителем $$\left(x+5\right)^5$$ и точкой $$x=-5$$. Тогда

   $$x\in(-5,-4)\cup(-4,2)\cup(2,+\infty).$$

6. $$\left(x+4\right)^4\left(x-3\right)^3\left(x+2\right)^2<0$$

   Нули: $$x=-4,\;-2,\;3.$$

   Чётные степени у множителей $$\left(x+4\right)^4$$ и $$\left(x+2\right)^2$$ знак не меняют, а множитель $$\left(x-3\right)^3$$ меняет. Значит,

   $$x\in(-\infty,-4)\cup(-4,-2)\cup(-2,3).$$

Ответ

а) $$(-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(4,+\infty)$$;
б) $$(-1,3)\cup(3,5)$$;
в) $$(-5,-4)\cup(-4,-3)$$;
г) $$(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$$;
д) $$(-5,-4)\cup(-4,2)\cup(2,+\infty)$$;
е) $$(-\infty,-4)\cup(-4,-2)\cup(-2,3)$$.