Упр.2.7 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
$$\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{b}{a^3-b^3}$$
Разложим разность кубов:
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$Тогда
$$\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{b}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}=\frac{a-b+b}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}.$$Получаем
$$\frac{a}{a^3-b^3}.$$$$\frac{m^2+n^2}{m^3+n^3}-\frac{1}{2(m+n)}$$
Разложим сумму кубов:
$$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2).$$Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{m^2+n^2}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}-\frac{1}{2(m+n)} $$
$$ =\frac{2(m^2+n^2)-(m^2-mn+n^2)}{2(m+n)(m^2-mn+n^2)}. $$Числитель:
$$2m^2+2n^2-m^2+mn-n^2=m^2+mn+n^2.$$Тогда
$$\frac{m^2+mn+n^2}{2(m^3+n^3)}.$$$$\frac{x^2-2xy}{(x-2y)^3}+\frac{1}{2y-x}$$
Заметим, что
$$2y-x=-(x-2y),$$
значит
$$\frac{1}{2y-x}=-\frac{1}{x-2y}.$$Тогда
$$ \frac{x^2-2xy}{(x-2y)^3}-\frac{1}{x-2y} =\frac{x^2-2xy-(x-2y)^2}{(x-2y)^3}. $$Раскроем квадрат:
$$\left(x-2y\right)^2=x^2-4xy+4y^2.$$Поэтому
$$ x^2-2xy-(x^2-4xy+4y^2)=2xy-4y^2=2y(x-2y). $$Получаем
$$\frac{2y(x-2y)}{(x-2y)^3}=\frac{2y}{(x-2y)^2}.$$$$\frac{2(p+q)}{p^3-q^3}+\frac{2}{p^2-pq+q^2}$$
Разложим разность кубов:
$$p^3-q^3=(p-q)(p^2+pq+q^2).$$Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{2(p+q)}{(p-q)(p^2+pq+q^2)}+\frac{2(p-q)}{(p-q)(p^2+pq+q^2)}. $$Тогда
$$ \frac{2(p+q)+2(p-q)}{(p-q)(p^2+pq+q^2)} =\frac{4p}{(p-q)(p^2+pq+q^2)}. $$
Ответ
$$\frac{a}{a^3-b^3};\quad \frac{m^2+mn+n^2}{2(m^3+n^3)};\quad \frac{2y}{(x-2y)^2};\quad \frac{4p}{(p-q)(p^2+pq+q^2)}.$$
