Упр.2.58 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Сделаем замену $$t=\frac{x}{x+3}.$$ Тогда из первого уравнения получаем
$$t+\frac{1}{t}=\frac{17}{4}.$$
Умножим на $$t$$:
$$4t^2-17t+4=0.$$
$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=225,$$
$$t_1=\frac{17-15}{8}=\frac14,\qquad t_2=\frac{17+15}{8}=4.$$
1) $$\frac{x}{x+3}=\frac14 \Rightarrow 4x=x+3 \Rightarrow x=1.$$
Тогда из $$x^2-4xy+4y^2=0$$ имеем
$$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2=0 \Rightarrow y=\frac{x}{2}=\frac12.$$
2) $$\frac{x}{x+3}=4 \Rightarrow x=4x+12 \Rightarrow x=-4.$$
Тогда
$$(-4)^2-4(-4)y+4y^2=0 \Rightarrow 4y^2+16y+16=0 \Rightarrow (y+2)^2=0,$$
откуда $$y=-2.$$
Получаем решения: $$\left(1;\frac12\right),\;(-4;-2).$$
в) Сделаем замену $$t=\frac{x+y}{x-y}.$$ Тогда из первого уравнения
$$2t-\frac{3}{t}=5.$$
Умножим на $$t$$:
$$2t^2-5t-3=0.$$
$$D=25+24=49,$$
$$t_1=\frac{5+7}{4}=3,\qquad t_2=\frac{5-7}{4}=-\frac12.$$
1) $$\frac{x+y}{x-y}=3 \Rightarrow x+y=3x-3y \Rightarrow x=2y.$$
Тогда
$$x^2+y^2=90 \Rightarrow 4y^2+y^2=90 \Rightarrow 5y^2=90,$$
$$y=\pm 3\sqrt2,\qquad x=\pm 6\sqrt2.$$
Получаем точки $$\left(6\sqrt2;3\sqrt2\right)$$ и $$\left(-6\sqrt2;-3\sqrt2\right).$$
2) $$\frac{x+y}{x-y}=-\frac12 \Rightarrow 2x+2y=-x+y \Rightarrow y=-3x.$$
Тогда
$$x^2+y^2=90 \Rightarrow x^2+9x^2=90 \Rightarrow 10x^2=90,$$
$$x=\pm 3,\qquad y=\mp 9.$$
Получаем точки $$\left(3;-9\right)$$ и $$\left(-3;9\right).$$
д) Умножим второе уравнение на $$2$$ и сложим с первым:
$$x^2+y^2=5,$$
$$2xy+2x+2y=10.$$
Тогда
$$x^2+2xy+y^2+2(x+y)=15,$$
то есть
$$(x+y)^2+2(x+y)=15.$$
Положим $$t=x+y.$$ Тогда
$$t^2+2t-15=0,$$
$$t_1=3,\qquad t_2=-5.$$
1) При $$x+y=3$$ и $$x^2+y^2=5$$ получаем
$$2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)=9-5=4,$$
то есть $$xy=2.$$ Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$u^2-3u+2=0,$$
откуда $$u=1$$ или $$u=2.$$
Значит, $$\left(1;2\right)$$ и $$\left(2;1\right).$$
2) При $$x+y=-5$$ имеем
$$2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)=25-5=20,$$
то есть $$xy=10.$$ Тогда
$$u^2+5u+10=0,$$
а дискриминант $$D=25-40<0,$$
следовательно, действительных решений нет.
е) Обозначим $$u=xy,\quad v=x+y.$$ Тогда
$$x^2+y^2=v^2-2u.$$
Из системы получаем
$$u=v,$$
$$v^2-2u=4u.$$
Подставим $$u=v$$:
$$v^2-6v=0,$$
$$v(v-6)=0.$$
1) $$v=0 \Rightarrow u=0.$$ Тогда $$xy=0$$ и $$x+y=0,$$ откуда $$x=0,\; y=0.$$
2) $$v=6 \Rightarrow u=6.$$ Тогда $$x+y=6,\; xy=6.$$ Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-6t+6=0,$$
$$t=3\pm \sqrt3.$$
Значит, решения: $$\left(0;0\right),\; \left(3+\sqrt3;3-\sqrt3\right),\; \left(3-\sqrt3;3+\sqrt3\right).$$
ж) Обозначим $$u=xy,\quad v=x-y.$$ Тогда
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=v(x+y).$$
Из первого уравнения
$$v=0{,}25u=\frac{u}{4}.$$
Из второго:
$$v+\frac{u}{4}=2{,}5u,$$
$$v=\frac{9}{4}u.$$
Сравнивая, получаем
$$\frac{u}{4}=\frac{9}{4}u \Rightarrow u(u-8)=0.$$
1) $$u=0 \Rightarrow v=0 \Rightarrow x=y=0.$$
2) $$u=8 \Rightarrow v=2.$$ Тогда
$$x-y=2,\qquad xy=8.$$
Пусть $$x=y+2$$. Тогда
$$y(y+2)=8 \Rightarrow y^2+2y-8=0,$$
$$y=-4 \text{ или } y=2.$$
Соответственно, $$x=-2$$ или $$x=4.$$
Получаем решения: $$\left(0;0\right),\; \left(-2;-4\right),\; \left(4;2\right).$$