Упр.2.57 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а)
Сложим уравнения системы:
$$\begin{cases} y^2-3xy=-2,\\ x^2+5xy=11. \end{cases}$$
Получим
$$x^2+2xy+y^2=9,$$
то есть
$$(x+y)^2=9.$$
Тогда
$$x+y=3 \quad \text{или} \quad x+y=-3.$$1) Если $$x+y=3,$$ то $$y=3-x.$$ Подставим в первое уравнение:
$$y^2-3xy=-2.$$
Получаем два решения:
$$(x,y)=\left(\frac{11}{4},\frac{1}{4}\right), \ (1,2).$$2) Если $$x+y=-3,$$ то $$y=-3-x.$$ Подставим в первое уравнение:
$$y^2-3xy=-2.$$
Получаем:
$$(x,y)=\left(-\frac{11}{4},-\frac{1}{4}\right), \ (-1,-2).$$б)
Сложим уравнения системы:
$$\begin{cases} x^2-2xy+2x=9,\\ y^2+5xy=-9. \end{cases}$$
Тогда
$$x^2-2xy+y^2+2x+5xy=0,$$
то есть
$$(x-y)^2=9.$$
Следовательно,
$$x-y=3 \quad \text{или} \quad x-y=-3.$$1) Если $$x-y=3,$$ то $$x=3+y.$$ Подставим во второе уравнение:
$$y^2+5y(3+y)=-9.$$
Получаем
$$6y^2+15y+9=0,$$
$$2y^2+5y+3=0,$$
$$D=25-24=1.$$
Тогда
$$y_1=-1,\quad y_2=-\frac{3}{2}.$$
Соответственно,
$$(x,y)=(2,-1), \left(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right).$$2) Если $$x-y=-3,$$ то $$x=y-3.$$ Подставим во второе уравнение:
$$y^2+5(y-3)y=-9.$$
Получаем
$$6y^2-15y+9=0,$$
$$2y^2-5y+3=0,$$
$$D=25-24=1.$$
Тогда
$$y_1=1,\quad y_2=\frac{3}{2}.$$
Соответственно,
$$(x,y)=(-2,1), \left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right).$$в)
Сложим уравнения системы:
$$\begin{cases} x^2-8y+31=0,\\ y^2-2x-14=0. \end{cases}$$
Получим
$$x^2-2x+y^2-8y+17=0.$$
Дополним до квадратов:
$$(x-1)^2+(y-4)^2=0.$$
Значит,
$$x-1=0,\quad y-4=0,$$
откуда
$$(x,y)=(1,4).$$
Ответ
а) $$\left(\frac{11}{4},\frac{1}{4}\right),\ (1,2),\ \left(-\frac{11}{4},-\frac{1}{4}\right),\ (-1,-2)$$
б) $$(2,-1),\ \left(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right),\ (-2,1),\ \left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$$
в) $$(1,4)$$
