Упр.2.54 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$2x^3-x^2-2x+1\le 0$$

   Разложим на множители:

   $$2x^3-x^2-2x+1=(x+1)(x-1)(2x-1)$$

   Тогда

   $$ (x+1)(x-1)(2x-1)\le 0 $$

   Нули: $$x=-1,\; x=\frac12,\; x=1$$.

   Знак произведения меняется в этих точках, поэтому

   $$x\in(-\infty,-1]\cup\left[\frac12,1\right].$$

2. $$3x^3-x^2-12x+4\le 0$$

   Группируем:

   $$3x^3-x^2-12x+4=(x+2)(3x-1)(x-2)$$

   Следовательно,

   $$ (x+2)(3x-1)(x-2)\le 0 $$

   Нули: $$x=-2,\; x=\frac13,\; x=2$$.

   Отсюда

   $$x\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,2\right].$$

3. $$x^4-4x^3+12x-9\le 0$$

   Разложим на множители:

   $$x^4-4x^3+12x-9=(x-1)(x-3)(x^2-3)$$

   Тогда

   $$ (x-1)(x-3)(x^2-3)\le 0 $$

   Нули: $$x=1,\; x=3,\; x=\pm\sqrt3$$.

   По знакам получаем

   $$x\in(-\infty,-\sqrt3]\cup[1,\sqrt3]\cup[3,\infty).$$

4. $$x^4-3x^3+6x-4\le 0$$

   Разложим:

   $$x^4-3x^3+6x-4=(x-1)(x-2)(x^2-2)$$

   Следовательно,

   $$ (x-1)(x-2)(x^2-2)\le 0 $$

   Нули: $$x=1,\; x=2,\; x=\pm\sqrt2$$.

   Отсюда

   $$x\in(-\infty,-\sqrt2]\cup[1,\sqrt2]\cup[2,\infty).$$

5. $$3x^4-3x^3+4x^2-x+1\le 0$$

   Сгруппируем:

   $$3x^4-3x^3+4x^2-x+1=(x^2-x+1)(3x^2+1)$$

   Но

   $$x^2-x+1>0,\qquad 3x^2+1>0$$

   при любом $$x$$, значит произведение всегда положительно.

   Решений нет.

6. $$2x^4+2x^3+5x^2+x+2\le 0$$

   Преобразуем:

   $$2x^4+2x^3+5x^2+x+2=(2x^2+1)(x^2+x+2)$$

   Так как

   $$2x^2+1>0,\qquad x^2+x+2>0$$

   при любом $$x$$, то левая часть всегда положительна.

   Решений нет.

Ответ

а) $$(-\infty,-1]\cup\left[\frac12,1\right]$$;
б) $$(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,2\right]$$;
в) $$(-\infty,-\sqrt3]\cup[1,\sqrt3]\cup[3,\infty)$$;
г) $$(-\infty,-\sqrt2]\cup[1,\sqrt2]\cup[2,\infty)$$;
д) решений нет;
е) решений нет.