Упр.2.53 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

$$x^3+6x^2+11x+6=0$$
Подбираем целые корни: $$x=-1,-2,-3$$.
Разложим на множители:
$$x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)$$
Тогда
$$ (x+1)(x+2)(x+3)=0 $$
$$x=-1,\,-2,\,-3$$
$$x^3+2x^2-5x-6=0$$
Проверяем корни: $$x=-1$$ подходит.
Делим многочлен на $$x+1$$:
$$x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x^2+x-6)$$
$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$
Значит,
$$ (x+1)(x+3)(x-2)=0 $$
$$x=-1,\,-3,\,2$$
$$x^3-2x-4=0$$
Проверяем корень $$x=2$$:
$$2^3-2\cdot2-4=8-4-4=0$$
Тогда
$$x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)$$
Для квадратного уравнения
$$x^2+2x+2=0$$
$$D=2^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4<0$$
Действительных корней нет, поэтому
$$x=2$$
$$x^3-6x-9=0$$
Проверяем корень $$x=3$$:
$$3^3-6\cdot3-9=27-18-9=0$$
Тогда
$$x^3-6x-9=(x-3)(x^2+3x+3)$$
Для квадратного уравнения
$$x^2+3x+3=0$$
$$D=3^2-4\cdot1\cdot3=9-12=-3<0$$
Действительных корней нет, значит
$$x=3$$
$$x^4+x^3+5x^2+4x+4=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$x^4+x^3+5x^2+4x+4=(x^2+x+1)(x^2+4)$$
Тогда
$$ (x^2+x+1)(x^2+4)=0 $$
Уравнение $$x^2+4=0$$ действительных корней не имеет, а для
$$x^2+x+1=0$$
$$D=1-4=-3<0$$
Следовательно, действительных корней нет.
$$x^5+3x^3+2x=0$$
Вынесем $$x$$ за скобки:
$$x(x^4+3x^2+2)=0$$
Отсюда
$$x=0$$
или
$$x^4+3x^2+2=0$$
Положим $$t=x^2$$, тогда
$$t^2+3t+2=0$$
$$ (t+1)(t+2)=0 $$
$$t=-1 \text{ или } t=-2$$
Но $$t=x^2\ge 0$$, поэтому эти значения не подходят.
Остаётся
$$x=0$$