Упр.2.49 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\left(x+100\right)^2-2004\left(x+100\right)-2005=0$$

   Пусть $$t=x+100$$. Тогда

   $$t^2-2004t-2005=0.$$

   По теореме Виета:

   $$t_1+t_2=2004,\quad t_1t_2=-2005.$$

   Отсюда $$t_1=2005,\ t_2=-1.$$

   Тогда

   $$x+100=2005 \Rightarrow x=1905,$$

   $$x+100=-1 \Rightarrow x=-101.$$

2. $$\left(x^2-x\right)^2-3\left(x^2-x\right)+2=0$$

   Пусть $$t=x^2-x.$$ Тогда

   $$t^2-3t+2=0.$$

   По теореме Виета:

   $$t_1=1,\quad t_2=2.$$

   1) $$x^2-x=1 \Rightarrow x^2-x-1=0,$$

   $$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

   2) $$x^2-x=2 \Rightarrow x^2-x-2=0,$$

   $$x=2,\quad x=-1.$$

3. $$\left(x^2-10x\right)^2+8\left(x-5\right)^2-209=0$$

   Заметим, что $$x^2-10x+25=\left(x-5\right)^2.$$ Тогда

   $$\left(x^2-10x\right)^2+8\left(x^2-10x+25\right)-209=0.$$

   Пусть $$t=x^2-10x.$$ Получаем

   $$t^2+8t-9=0.$$

   По теореме Виета:

   $$t_1=1,\quad t_2=-9.$$

   1) $$x^2-10x=1 \Rightarrow x^2-10x-1=0,$$

   $$x_{1,2}=5\pm\sqrt{26}.$$

   2) $$x^2-10x=-9 \Rightarrow x^2-10x+9=0,$$

   $$x=1,\quad x=9.$$

4. $$\left(\frac{3x-1}{x+1}\right)^2-\frac{27x-9}{x+1}+14=0,$$

   $$x\ne -1.$$

   Пусть $$t=\frac{3x-1}{x+1}.$$ Тогда

   $$t^2-9t+14=0.$$

   Отсюда

   $$t_1=7,\quad t_2=2.$$

   1) $$\frac{3x-1}{x+1}=7 \Rightarrow 3x-1=7x+7 \Rightarrow x=-2.$$

   2) $$\frac{3x-1}{x+1}=2 \Rightarrow 3x-1=2x+2 \Rightarrow x=3.$$

5. $$3\left(\frac{2x-3}{x+1}\right)^2-\frac{44x-66}{x+1}+7=0,$$

   $$x\ne -1.$$

   Пусть $$t=\frac{2x-3}{x+1}.$$ Тогда

   $$3t^2-22t+7=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=22^2-4\cdot 3\cdot 7=484-84=400.$$

   Тогда

   $$t_{1,2}=\frac{22\pm 20}{6},\quad t_1=7,\ t_2=\frac13.$$

   1) $$\frac{2x-3}{x+1}=7 \Rightarrow 2x-3=7x+7 \Rightarrow x=-2.$$

   2) $$\frac{2x-3}{x+1}=\frac13 \Rightarrow 3(2x-3)=x+1 \Rightarrow x=2.$$

6. $$\frac{28x-70}{3x+1}-\frac{21x+7}{2x-5}-4x=0,$$

   $$x\ne -\frac13,\quad x\ne \frac52.$$

   Пусть $$t=\frac{2x-5}{3x+1}.$$ Тогда

   $$14t-\frac7t-4x=0.$$

   После преобразований получаем квадратное уравнение

   $$14t^2-47t-7=0.$$

   Отсюда

   $$t_{1,2}=\frac{47\pm 51}{28},\quad t_1=3,\ t_2=-\frac17.$$

   1) $$\frac{2x-5}{3x+1}=3 \Rightarrow 2x-5=9x+3 \Rightarrow x=-1.$$

   2) $$\frac{2x-5}{3x+1}=-\frac17 \Rightarrow 7(2x-5)=-(3x+1) \Rightarrow x=2.$$

Ответ

а) $$1905,\ -101$$;
б) $$\frac{1\pm\sqrt5}{2},\ 2,\ -1$$;
в) $$5\pm\sqrt{26},\ 1,\ 9$$;
г) $$-2,\ 3$$;
д) $$-2,\ 2$$.