Упр.2.43 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Пусть $$P(x)=x^3-5x^2+ax+b.$$

Так как многочлен делится на $$x-3$$ без остатка, то $$P(3)=0$$. А при делении на $$x+3$$ получается остаток $$-42$$, значит $$P(-3)=-42$$.

$$ P(3)=3^3-5\cdot 3^2+3a+b=0 $$
$$ 27-45+3a+b=0 $$
$$ 3a+b=18 $$

$$ P(-3)=(-3)^3-5\cdot(-3)^2-3a+b=-42 $$
$$ -27-45-3a+b=-42 $$
$$ -3a+b=30 $$

Решим систему:

$$ \begin{cases} 3a+b=18,\\ -3a+b=30. \end{cases} $$

$$ 6a=-12,\quad a=-2 $$
$$ 3\cdot(-2)+b=18,\quad b=24 $$

Тогда

$$ P(x)=x^3-5x^2-2x+24=(x-3)(x^2-2x-8)=(x-3)(x-4)(x+2). $$

Корни многочлена: $$3,\ 4,\ -2.$$

б) Пусть $$P(x)=2x^3+ax^2+bx+1.$$

Из условия: $$P(-1)=0$$ и $$P(-2)=-15$$.

$$ P(-1)=2(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+1=0 $$
$$ -2+a-b+1=0 $$
$$ a-b=1 $$

$$ P(-2)=2(-2)^3+a(-2)^2+b(-2)+1=-15 $$
$$ -16+4a-2b+1=-15 $$
$$ 4a-2b=0 $$
$$ 2a-b=0 $$

Решим систему:

$$ \begin{cases} a-b=1,\\ 2a-b=0. \end{cases} $$

$$ a=-1,\quad b=-2 $$

Тогда

$$ P(x)=2x^3-x^2-2x+1=(x+1)(2x^2-3x+1)=(x+1)(2x-1)(x-1). $$

Корни многочлена: $$-1,\ 1,\ \frac12.$$

в) Пусть $$P(x)=x^3+ax^2+bx+16.$$

Из условия: $$P(4)=0$$ и $$P(-1)=15$$.

$$ P(4)=4^3+a\cdot 4^2+4b+16=0 $$
$$ 64+16a+4b+16=0 $$
$$ 4a+b=-20 $$

$$ P(-1)=(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+16=15 $$
$$ -1+a-b+16=15 $$
$$ a-b=0 $$

Решим систему:

$$ \begin{cases} 4a+b=-20,\\ a-b=0. \end{cases} $$

$$ b=a,\quad 5a=-20,\quad a=-4,\quad b=-4 $$

Тогда

$$ P(x)=x^3-4x^2-4x+16=x^2(x-4)-4(x-4)=(x-4)(x^2-4)=(x-4)(x-2)(x+2). $$

Корни многочлена: $$4,\ 2,\ -2.$$

Ответ

а) $$-2,\ 3,\ 4$$

б) $$-\!1,\ 1,\ \frac12$$

в) $$4,\ 2,\ -2$$