Упр.2.40 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

Рассмотрим многочлен

$$P_5(x)=x^5+3x^4-5x^3-15x^2+4x+12.$$

Проверим целые корни, делящие свободный член $$12$$: $$\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12.$$

Подставим некоторые значения:

$$P_5(1)=1+3-5-15+4+12=0,$$
$$P_5(-1)=-1+3+5-15-4+12=0,$$
$$P_5(2)=32+48-40-60+8+12=0,$$
$$P_5(-2)=-32+48+40-60-8+12=0,$$
$$P_5(3)=243+243-135-135+12+12=240\neq0.$$

Значит, корнями многочлена являются $$x=1,\,-1,\,2,\,-2.$$

Разложим многочлен на множители:

$$ \begin{aligned} P_5(x)&=x^5+3x^4-5x^3-15x^2+4x+12 \\ &=(x+3)(x^4-5x^2+4) \\ &=(x+3)(x^2-1)(x^2-4) \\ &=(x+3)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2). \end{aligned} $$

Следовательно, все корни многочлена:

$$x=-3,\,-2,\,-1,\,1,\,2.$$