Упр.2.31 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Дробь несократима тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель не имеют общего делителя, отличного от $$1$$.

Рассмотрим многочлены $$x^4+1$$ и $$x^3+1$$. Применим к ним алгоритм Евклида:

$$x^4+1 = x(x^3+1) + (1-x)$$
$$x^3+1 = -(x^2+x+1)(1-x) + (x^2+x+2)$$
$$1-x = -(x-1)$$

Удобнее выполнить деление до конца: при делении $$x^4+1$$ на $$x^3+1$$ остаток равен $$1-x$$, а далее при делении $$x^3+1$$ на $$1-x$$ получаем ненулевой остаток, значит общий делитель этих многочленов равен $$1$$.

Следовательно,

$$\gcd(x^4+1,\;x^3+1)=1.$$

Значит, дробь $$\dfrac{x^4+1}{x^3+1}$$ несократима.

Ответ

$$\dfrac{x^4+1}{x^3+1}$$ — несократимая дробь.