Упр.2.104 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение
$$|x^2-4x+3|+|-x^2+5x-4|=x-1.$$
Найдём нули выражений под модулем:
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3), \qquad -x^2+5x-4=-(x-1)(x-4).$$
Точки смены знака: $$x=1,\;3,\;4.$$
Рассмотрим промежутки.
1) $$x<1.$$ Тогда оба выражения под модулями отрицательны, и
$$-(x^2-4x+3)-(-x^2+5x-4)=x-1.$$
$$-x^2+4x-3+x^2-5x+4=x-1,$$
$$-x+1=x-1,$$
$$x=1,$$
но это не принадлежит промежутку $$x<1.$$
2) $$1\le x\le 3.$$ Тогда
$$x^2-4x+3\ge 0,\qquad -x^2+5x-4\ge 0,$$
поэтому
$$x^2-4x+3-x^2+5x-4=x-1,$$
$$x-1=x-1.$$
Это верно при всех $$x\in[1;3].$$
3) $$3<x\le 4.$$ Тогда
$$x^2-4x+3>0,\qquad -x^2+5x-4\ge 0,$$
и снова получаем
$$x^2-4x+3-x^2+5x-4=x-1,$$
$$x-1=x-1.$$
Значит, все $$x\in(3;4]$$ подходят.
4) $$x>4.$$ Тогда оба выражения под модулями неотрицательны, и
$$x^2-4x+3-x^2+5x-4=x-1,$$
$$x-1=x-1.$$
Следовательно, подходят все $$x>4.$$
Итак,
$$x\in[1;+\infty).$$
б) Рассмотрим уравнение
$$|x^2-5x+6|+|-x^2+4x-3|=3-x.$$
Разложим на множители:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$
$$-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3).$$
Точки смены знака: $$x=1,\;2,\;3.$$
Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$3-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 3.$$
Рассмотрим промежутки.
1) $$x<1.$$ Тогда оба выражения под модулями отрицательны:
$$-(x^2-5x+6)-(-x^2+4x-3)=3-x.$$
$$-x^2+5x-6+x^2-4x+3=3-x,$$
$$x-3=3-x,$$
$$x=3,$$
но это не подходит.
2) $$1\le x<2.$$ Тогда
$$-(x^2-5x+6)-(-x^2+4x-3)=3-x,$$
$$x-3=3-x,$$
$$x=3,$$
не подходит.
3) $$2\le x<3.$$ Тогда
$$x^2-5x+6-(-x^2+4x-3)=3-x,$$
$$2x^2-9x+9=3-x,$$
$$2x^2-8x+6=0,$$
$$x^2-4x+3=0,$$
$$x=1 \text{ или } x=3.$$
Из этого промежутка подходит только $$x=3.$$
4) $$x\ge 3.$$ Тогда
$$x^2-5x+6+(-x^2+4x-3)=3-x,$$
$$-x+3=3-x,$$
что верно при всех $$x\ge 3.$$
С учётом условия $$x\le 3$$ получаем $$x=3.$$
в) Рассмотрим уравнение
$$|x^2-10x+24|+|x^2-9x+20|=-x+4.$$
Разложим на множители:
$$x^2-10x+24=(x-4)(x-6),$$
$$x^2-9x+20=(x-4)(x-5).$$
Точки смены знака: $$x=4,\;5,\;6.$$ Правая часть неотрицательна при $$x\le 4.$$
1) $$x<4.$$ Тогда оба выражения под модулями положительны:
$$x^2-10x+24+x^2-9x+20=-x+4,$$
$$2x^2-19x+44=0.$$
Корни этого уравнения не принадлежат промежутку $$x<4,$$ поэтому решений здесь нет.
2) $$4\le x<5.$$ Тогда
$$-(x^2-10x+24)+x^2-9x+20=-x+4,$$
$$x-4=-x+4,$$
$$x=4.$$
3) $$5\le x<6.$$ Тогда
$$-(x^2-10x+24)- (x^2-9x+20)=-x+4,$$
$$-2x^2+19x-44=-x+4,$$
$$2x^2-20x+48=0,$$
$$x^2-10x+24=0,$$
$$x=4 \text{ или } x=6.$$
Из промежутка подходит только $$x=6.$$
4) $$x\ge 6.$$ Тогда
$$x^2-10x+24+x^2-9x+20=-x+4,$$
$$2x^2-19x+44=-x+4,$$
$$2x^2-18x+40=0,$$
$$x^2-9x+20=0,$$
$$x=4 \text{ или } x=5,$$
но они не принадлежат промежутку $$x\ge 6.$$
Значит, $$x=4$$ и $$x=6.$$
г) Рассмотрим уравнение
$$\left|\frac{x}{x+1}-3x\right|+\left|\frac{x}{x+1}+2\right|=3x+2.$$
ОДЗ: $$x\ne -1.$$
Преобразуем выражения под модулями:
$$\frac{x}{x+1}-3x=\frac{x-3x(x+1)}{x+1}=\frac{-3x^2-2x}{x+1}=-\frac{x(3x+2)}{x+1},$$
$$\frac{x}{x+1}+2=\frac{x+2x+2}{x+1}=\frac{3x+2}{x+1}.$$
Точки смены знака: $$x=0,\;x=-\frac23,\;x=-1.$$
Рассмотрим промежутки.
1) $$x<-1.$$ Тогда
$$-\frac{x(3x+2)}{x+1}+\frac{3x+2}{x+1}=3x+2,$$
$$\frac{(3x+2)(1-x)}{x+1}=3x+2.$$
После преобразований получаем $$x=0$$ или $$x=-\frac23,$$ но они не принадлежат промежутку.
2) $$-1<x<-\frac23.$$ Тогда
решений нет.
3) $$-\frac23\le x<0.$$ Тогда
получаем $$x=-\frac23.$$
4) $$x\ge 0.$$ Тогда
$$\frac{x(3x+2)}{x+1}+\frac{3x+2}{x+1}=3x+2,$$
$$3x+2=3x+2,$$
то есть все $$x\ge 0$$ подходят.
Итак, $$x\in\left\{-\frac23\right\}\cup[0;+\infty).$$
д) Рассмотрим уравнение
$$\left|\frac{x}{2x-5}+x\right|+\left|\frac{x}{2x-5}-1\right|=x+1.$$
ОДЗ: $$2x-5\ne 0,$$ то есть $$x\ne \frac52.$$
Преобразуем выражения:
$$\frac{x}{2x-5}+x=\frac{x+2x^2-5x}{2x-5}=\frac{2x^2-4x}{2x-5}=\frac{2x(x-2)}{2x-5},$$
$$\frac{x}{2x-5}-1=\frac{x-2x+5}{2x-5}=\frac{5-x}{2x-5}=-\frac{x-5}{2x-5}.$$
Точки смены знака: $$x=0,\;2,\;\frac52,\;5.$$
Рассмотрим промежутки.
1) $$x<0.$$ Тогда решений нет.
2) $$0\le x\le 2.$$ Тогда
$$\frac{2x(x-2)}{2x-5}+\frac{x-5}{2x-5}=x+1,$$
$$2x^2-4x+x-5=(x+1)(2x-5),$$
$$2x^2-3x-5=2x^2-3x-5,$$
то есть все $$x\in[0;2]$$ подходят.
3) $$2<x<\frac52.$$ Тогда решений нет.
4) $$x\ge \frac52.$$ Тогда получаем $$x\ge 5.$$
Итак, $$x\in[0;2]\cup[5;+\infty).$$