Упр.2.102 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x^2-8x+15\ge 0,\\ x^2-(a+4)x+4a\le 0. \end{cases} $$

Первое неравенство раскладывается на множители:

$$ x^2-8x+15=(x-3)(x-5), $$

поэтому

$$ (x-3)(x-5)\ge 0. $$

Отсюда

$$ x\le 3 \quad \text{или} \quad x\ge 5. $$

Второе неравенство:

$$ x^2-(a+4)x+4a=(x-a)(x-4), $$

значит

$$ (x-a)(x-4)\le 0. $$

Это означает, что

$$ x\in [\min(a,4),\max(a,4)]. $$

Чтобы система имела решение, нужно, чтобы отрезок $$[\min(a,4),\max(a,4)]$$ пересекался с множеством $$(-\infty,3]\cup[5,\infty).$$

Пересечение есть тогда и только тогда, когда:

• либо $$a\le 3,$$
• либо $$a\ge 5.$$

Если же $$3<a<5,$$ то весь отрезок решений второго неравенства лежит внутри интервала $$ (3,5), $$ и пересечения с первым неравенством нет.

Ответ

$$a\le 3 \quad \text{или} \quad a\ge 5.$$