Упр.2.101 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а)
$$\begin{cases} x^2-4x-12\ge 0,\\ |x-a|\le 3 \end{cases}$$
$$x^2-4x-12=(x-6)(x+2)$$
Тогда
$$\begin{cases} (x-6)(x+2)\ge 0,\\ a-3\le x\le a+3 \end{cases}$$
Решение неравенства $$ (x-6)(x+2)\ge 0 $$:
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 6.$$
Чтобы система имела единственное решение, отрезок $$[a-3;\,a+3]$$ должен касаться множества решений только в одной точке. Это возможно, если
$$a-3=-2 \quad \text{или} \quad a+3=6.$$
Отсюда
$$a=1 \quad \text{или} \quad a=3.$$
б)
$$\begin{cases} x^2-4x-12\le 0,\\ |x-a|\le 3 \end{cases}$$
$$x^2-4x-12=(x-6)(x+2)$$
Тогда
$$\begin{cases} -2\le x\le 6,\\ a-3\le x\le a+3 \end{cases}$$
Система имеет единственное решение, если отрезок $$[a-3;\,a+3]$$ касается отрезка $$[-2;\,6]$$ в одной точке:
$$a-3=-2 \quad \text{или} \quad a+3=6.$$
Получаем
$$a=1 \quad \text{или} \quad a=3.$$
Но при этих значениях пересечение не является единственной точкой для случая $$x^2-4x-12\le 0$$, поэтому единственное решение получается при
$$a=-5 \quad \text{или} \quad a=9.$$
в)
$$\begin{cases} x^2-(a+3)x+3a\le 0,\\ |x-4|\ge 2 \end{cases}$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2-(a+3)x+3a=(x-a)(x-3).$$
Тогда
$$\begin{cases} (x-a)(x-3)\le 0,\\ x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge 6 \end{cases}$$
Чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы отрезок $$[a,3]$$ пересекал множество $$(-\infty,2]\cup[6,\infty)$$ ровно в одной точке. Это возможно при
$$a=2 \quad \text{или} \quad a=6.$$
2)
$$\begin{cases} x^2-(a+1)x+a\ge 0,\\ |x-4|\le 2 \end{cases}$$
$$x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)$$
Тогда
$$\begin{cases} (x-1)(x-a)\ge 0,\\ 2\le x\le 6 \end{cases}$$
Чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы отрезок $$[2;\,6]$$ касался множества решений неравенства $$ (x-1)(x-a)\ge 0 $$ в одной точке. Это происходит при
$$a=6.$$