Упражнение 199 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$1-4\sin^2\left(5x-\frac{\pi}{3}\right)=0$$

   Используем формулу $$1-2\sin^2 t=\cos 2t$$:

   $$ 1-2\left(1-\cos 2\left(5x-\frac{\pi}{3}\right)\right)=0 $$
   $$ 1-\cos\left(10x-\frac{2\pi}{3}\right)=\frac12 $$
   $$ \cos\left(10x-\frac{2\pi}{3}\right)=\frac12 $$

   Тогда
   $$ 10x-\frac{2\pi}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
   Отсюда
   $$ x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5} $$
   или
   $$ x=\frac{\pi}{30}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$3-4\sin^2\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

   Преобразуем:
   $$ 3-2\left(1-\cos 2\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)\right)=0 $$
   $$ 1-\cos\left(6x+\frac{2\pi}{3}\right)=\frac32 $$
   $$ \cos\left(6x+\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12 $$

   Тогда
   $$ 6x+\frac{2\pi}{3}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
   Получаем
   $$ x=\frac{\pi n}{3} $$
   или
   $$ x=-\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z. $$

3. $$3-4\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=0$$

   Используем формулу $$1-2\cos^2 t=-\cos 2t$$:
   $$ 3-2\left(\cos 2\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+1\right)=0 $$
   $$ \cos\left(4x-\frac{2\pi}{3}\right)=\frac12 $$

   Тогда
   $$ 4x-\frac{2\pi}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
   Отсюда
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} $$
   или
   $$ x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

4. $$1-2\cos^2\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

   Тогда
   $$ \cos 2\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)=0 $$
   $$ \cos\left(8x-\frac{\pi}{2}\right)=0 $$
   $$ 8x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
   Следовательно,
   $$ 8x=\pi+\pi n $$
   $$ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{8},\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}$$ или $$x=\frac{\pi}{30}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi n}{3}$$ или $$x=-\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{8},\ n\in\mathbb Z$$.