Упражнение 196 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

$$\sin\left(\frac{5\pi}{3}+x\right)-\sin\left(\frac{4\pi}{3}+x\right)=2\sin\left(\frac{\frac{5\pi}{3}+x-\frac{4\pi}{3}-x}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{5\pi}{3}+x+\frac{4\pi}{3}+x}{2}\right)$$
$$=2\sin\frac{\pi}{6}\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=2\cdot\frac12\cdot\sin x=\sin x.$$
$$\cos\left(\frac{4\pi}{3}+x\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}+x\right)=2\cos\left(\frac{\frac{4\pi}{3}+x+\frac{2\pi}{3}+x}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{4\pi}{3}+x-\frac{2\pi}{3}-x}{2}\right)$$
$$=2\cos\left(\pi+x\right)\cos\frac{\pi}{3}=2(-\cos x)\cdot\frac12=-\cos x.$$
$$\frac{\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt2\,\sin(\alpha+\pi)}$$
$$=\frac{-2\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}}{-\sqrt2\,\sin\alpha} =\frac{-2\sin\alpha\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{-\sqrt2\,\sin\alpha}=1.$$
$$\frac{\sqrt3\,\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}$$
$$=\frac{\sqrt3\,\cos\alpha}{2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha} =\frac{\sqrt3\,\cos\alpha}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha}=1.$$
$$\frac{\sin(0{,}5\pi+x)+\cos(\pi-3x)}{1-\cos(-2x)}$$
$$=\frac{\cos x-\cos 3x}{1-\cos 2x}.$$
Используем формулы:
$$\cos x-\cos 3x=-2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2}=2\sin 2x\sin x,$$
$$1-\cos 2x=2\sin^2 x.$$
Тогда
$$\frac{2\sin 2x\sin x}{2\sin^2 x}=\frac{2\cdot 2\sin x\cos x\cdot \sin x}{2\sin^2 x}=2\cos x.$$
$$\frac{\cos(1{,}5\pi+6x)-\sin(-2x)}{1+\cos(-4x)}$$
$$=\frac{\sin 6x+\sin 2x}{1+\cos 4x}.$$
По формулам приведения:
$$\sin 6x+\sin 2x=2\sin 4x\cos 2x,$$
$$1+\cos 4x=2\cos^2 2x.$$
Тогда
$$\frac{2\sin 4x\cos 2x}{2\cos^2 2x} =\frac{2\cdot 2\sin 2x\cos 2x\cdot \cos 2x}{2\cos^2 2x} =2\sin 2x.$$