Упражнение 194 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=-(\sqrt3+2), \quad \alpha\in\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right).$$

   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{1+\tg\alpha}{1-\tg\alpha}=-(\sqrt3+2).$$
   Тогда
   $$1+\tg\alpha=-(\sqrt3+2)(1-\tg\alpha),$$
   $$1+\tg\alpha=-\sqrt3-2+(\sqrt3+2)\tg\alpha,$$
   $$\tg\alpha(\sqrt3+1)=3+\sqrt3,$$
   $$\tg\alpha=\frac{3+\sqrt3}{\sqrt3+1}=\sqrt3.$$
   Так как $$\alpha\in\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right),$$ то $$\cos\alpha<0,$$ значит $$\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{\tg^2\alpha+1}}=-\frac{1}{\sqrt{3+1}}=-\frac12.$$

2. б) $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=2+\sqrt3,\quad \alpha\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right).$$

   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}=2+\sqrt3.$$
   Тогда
   $$1-\tg\alpha=(2+\sqrt3)(1+\tg\alpha),$$
   $$1-\tg\alpha=2+\sqrt3+(2+\sqrt3)\tg\alpha,$$
   $$\tg\alpha(3+\sqrt3)=-(1+\sqrt3),$$
   $$\tg\alpha=-\frac{1+\sqrt3}{3+\sqrt3}=-\frac{1}{\sqrt3}.$$
   Так как $$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right),$$ то $$\sin\alpha>0,$$ и
   $$\sin\alpha=\frac{\tg\alpha}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=\frac{-1/\sqrt3}{\sqrt{1+1/3}}=-\frac12.$$
   Но в II четверти синус положителен, значит
   $$\sin\alpha=\frac12.$$

3. в) $$\tg\left(\alpha-\frac{2\pi}{3}\right)=2-\sqrt3.$$

   $$\tg\left(\alpha-\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\tg\alpha-\tg\frac{2\pi}{3}}{1+\tg\alpha\,\tg\frac{2\pi}{3}} =\frac{\tg\alpha+\sqrt3}{1-\sqrt3\,\tg\alpha}=2-\sqrt3.$$
   Отсюда
   $$\tg\alpha+\sqrt3=(2-\sqrt3)(1-\sqrt3\,\tg\alpha),$$
   $$\tg\alpha+\sqrt3=2-\sqrt3-2\sqrt3\,\tg\alpha+3\tg\alpha,$$
   $$\tg\alpha(2\sqrt3-2)=2-2\sqrt3,$$
   $$\tg\alpha=-1.$$
   Тогда
   $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=0.$$

4. г) $$\sin 2\alpha=-0{,}96,\quad \alpha\in\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right).$$

   $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=-0{,}96.$$
   Возведём в квадрат:
   $$4\sin^2\alpha\cos^2\alpha=0{,}9216.$$
   Пусть $$t=\sin^2\alpha.$$ Тогда $$\cos^2\alpha=1-t,$$ и
   $$4t(1-t)=0{,}9216,$$
   $$4t-4t^2-0{,}9216=0,$$
   $$t^2-t+0{,}2304=0.$$
   Отсюда
   $$t=\frac{1\pm 0{,}04}{2},$$
   $$t_1=0{,}64,\quad t_2=0{,}36.$$
   Значит,
   $$\sin\alpha=\pm 0{,}8 \quad \text{или} \quad \sin\alpha=\pm 0{,}6.$$
   Так как $$\alpha\in\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right),$$ то $$\sin\alpha>0,$$ а из условия $$\sin 2\alpha<0$$ получаем $$\cos\alpha<0.$$ Следовательно, $$\sin\alpha=0{,}8.$$

5. д) $$\sin 2\alpha=0{,}96,\quad \alpha\in\left(\pi;\frac{5\pi}{4}\right).$$

   $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=0{,}96.$$
   Тогда
   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}.$$
   Подставим:
   $$2\sin\alpha\left(-\sqrt{1-\sin^2\alpha}\right)=0{,}96,$$
   $$\sin\alpha\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-0{,}48.$$
   Возведём в квадрат:
   $$\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha)=0{,}2304.$$
   Пусть $$t=\sin^2\alpha.$$ Тогда
   $$t^2-t+0{,}2304=0,$$
   $$t=0{,}64 \quad \text{или} \quad t=0{,}36.$$
   Значит,
   $$\sin\alpha=\pm 0{,}8 \quad \text{или} \quad \sin\alpha=\pm 0{,}6.$$
   Так как $$\alpha\in\left(\pi;\frac{5\pi}{4}\right),$$ то $$\sin\alpha<0,$$ следовательно $$\sin\alpha=-0{,}8.$$

6. е) $$\sin 2\alpha=-\frac{8}{17},\quad \alpha\in\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right).$$

   $$\cos 2\alpha=\sqrt{1-\sin^2 2\alpha}=\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\frac{15}{17}.$$
   Тогда
   $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\cos 2\alpha+1}{\sin 2\alpha} =\frac{\frac{15}{17}+1}{-\frac{8}{17}}=-4.$$

7. ж) $$\sin\alpha=-\frac{\sqrt5}{3},\quad \alpha\in\left(\pi;\frac{4\pi}{3}\right).$$

   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac59}=-\frac23.$$
   Тогда
   $$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{1+\frac23}{-\frac{\sqrt5}{3}} =-\frac{5}{\sqrt5}=-\sqrt5.$$

8. з) $$\ctg\alpha=-\frac{2}{\sqrt5},\quad \alpha\in\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right).$$

   $$\cos\alpha=\frac{\ctg\alpha}{\sqrt{1+\ctg^2\alpha}} =\frac{-2/\sqrt5}{\sqrt{1+4/5}} =-\frac{2}{3}.$$
   Тогда
   $$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac23}{2}} =\sqrt{\frac16} =\frac{1}{\sqrt6}.$$
   Следовательно,
   $$\sqrt{30}\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{30}\cdot\frac{1}{\sqrt6}=\sqrt5.$$

Ответ

а) $$\cos\alpha=-\frac12$$; б) $$\sin\alpha=\frac12$$; в) $$\cos 2\alpha=0$$; г) $$\sin\alpha=0{,}8$$; д) $$\sin\alpha=-0{,}8$$; е) $$\ctg\alpha=-4$$; ж) $$\tg\frac{\alpha}{2}=-\sqrt5$$; з) $$\sqrt{30}\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt5$$.