Упражнение 192 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$\cos \alpha=-\frac{3}{5}, \quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$

   Тогда

   $$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

   $$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25}.$$

   $$\cos \frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}.$$

2. б) $$\sin \alpha=\frac{5}{13}, \quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$

   $$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}.$$

   $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{144}{169}-\frac{25}{169}=\frac{119}{169}.$$

   $$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{12}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{26}}=\frac{1}{\sqrt{26}}.$$

3. в) $$\cos \alpha=-\frac{3}{5}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$

   $$\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}.$$

   $$\cos \frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}.$$

   $$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{2\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{-\frac{4}{5}}{2\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$

   $$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}=-2.$$

4. г) $$\sin \alpha=-\frac{3}{5}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$

   $$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}.$$

   $$\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$$

   $$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{2\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{-\frac{3}{5}}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$

   $$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{-\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}=-3.$$

5. д) $$\tan 2\alpha=-\frac{4}{3}, \quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$

   Используем формулу
   $$\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}.$$
   Обозначим $$t=\tan \alpha>0.$$ Тогда

   $$\frac{2t}{1-t^2}=-\frac{4}{3}.$$

   $$6t=-4+4t^2,$$
   $$4t^2-6t-4=0,$$
   $$2t^2-3t-2=0.$$

   $$D=9+16=25,$$
   $$t=\frac{3\pm 5}{4}.$$

   Так как $$t>0,$$ получаем
   $$t=2.$$
   Значит,
   $$\tan \alpha=2.$$

6. е) $$\cot 2\alpha=\frac{1-\tan^2\alpha}{2\tan \alpha}$$

   По условию
   $$\cot 2\alpha=\frac{4}{3}.$$
   Обозначим $$t=\cos^2\alpha.$$ Тогда

   $$\cot 2\alpha=\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{2\sin \alpha \cos \alpha}.$$

   После преобразований получаем уравнение
   $$25t^2-25t+4=0.$$

   $$D=625-400=225,$$
   $$t=\frac{25\pm 15}{50}.$$

   $$t_1=\frac{4}{5}, \quad t_2=\frac{1}{5}.$$

   Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos \alpha>0.$$ Из найденных значений подходит
   $$\cos^2\alpha=\frac{1}{26},$$
   значит
   $$\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{26}.$$

Ответ

а) $$\sin \alpha=\frac{4}{5}, \ \sin 2\alpha=-\frac{24}{25}, \ \cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$$

б) $$\cos \alpha=\frac{12}{13}, \ \cos 2\alpha=\frac{119}{169}, \ \sin \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\sqrt{26}}$$

в) $$\sin \alpha=-\frac{4}{5}, \ \cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{5}, \ \sin \frac{\alpha}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}, \ \tan \frac{\alpha}{2}=-2$$

г) $$\cos \alpha=-\frac{4}{5}, \ \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\sqrt{10}}, \ \sin \frac{\alpha}{2}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}, \ \tan \frac{\alpha}{2}=-3$$

д) $$\tan \alpha=2$$

е) $$\cos \alpha=\frac{\sqrt{26}}{26}$$