Упражнение 190 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{\cos 2\alpha}{1-\sin 2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{1-2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha)}{(\cos\alpha-\sin\alpha)^2} = \frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}. $$

Преобразуем правую часть:

$$ \frac{\cos 2\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha)}. $$

Тогда исходное выражение можно записать так:

$$ \frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha} — \frac{\cos 2\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2-\cos 2\alpha}{(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha)}. $$

Так как

$$ (\cos\alpha+\sin\alpha)^2=\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha=1+\sin 2\alpha, $$
$$ \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha, $$
то числитель равен

$$ 1+\sin 2\alpha-\cos 2\alpha. $$

Следовательно, после упрощения получаем:

$$ \frac{1+\sin 2\alpha-\cos 2\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}. $$