Упражнение 19 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а)

   $$\frac{a^3+b^3+3ab(a+b)}{(a+b)^3}\cdot 2 =\frac{(a+b)^3}{(a+b)^3}\cdot 2=2.$$

2. б)

   $$\frac{(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)}{(a+b)^2(a^3+b^3)}$$
   $$=\frac{(a^3+b^3)^2}{(a+b)^2(a^3+b^3)}=\frac{a^3+b^3}{(a+b)^2}.$$

   Так как $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$ то

   $$\frac{a^3+b^3}{(a+b)^2}=\frac{a^2-ab+b^2}{a+b}.$$

3. в)

   $$\frac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}.$$

   Используем тождество $$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx).$$

   Положим $$x=a-b,$$ $$y=b-c,$$ $$z=c-a.$$ Тогда $$x+y+z=0,$$ значит

   $$x^3+y^3+z^3=3xyz.$$

   Следовательно,

   $$\frac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}=3.$$

4. г)

   $$\frac{(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3}{(x+y)(y+z)(z+x)}.$$

   По формуле

   $$ (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x), $$

   получаем

   $$\frac{(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3}{(x+y)(y+z)(z+x)}=3.$$

5. д)

   $$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}.$$

   Используем тождество

   $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

   Тогда

   $$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}=a+b+c.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$\frac{a^2-ab+b^2}{a+b}$$; в) $$3$$; г) $$3$$; д) $$a+b+c$$.