Упражнение 186 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

а) Преобразуем выражение:

$$\tg(\alpha-\pi)-\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{1+\cos(-\alpha)}$$

Так как $$\tg(\alpha-\pi)=\tg\alpha,$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha,$$ $$\cos(-\alpha)=\cos\alpha,$$ получаем

$$\tg\alpha-\frac{-\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\tg\alpha+\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}.$$

Заменим $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)+\sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha(1+\cos\alpha)}.$$

Числитель:

$$\sin\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha =\sin\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha.$$

Итак,

$$\tg(\alpha-\pi)-\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{1+\cos(-\alpha)} =\frac{\sin\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha(1+\cos\alpha)}.$$

б) Преобразуем выражение:

$$\tg(\alpha+\pi)-\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}{1-\sin(-\alpha)}$$

Так как $$\tg(\alpha+\pi)=\tg\alpha,$$ $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha,$$ $$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,$$ получаем

$$\tg\alpha-\frac{-\cos\alpha}{1+\sin\alpha}=\tg\alpha+\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}.$$

Подставим $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} =\frac{\sin\alpha(1+\sin\alpha)+\cos^2\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}.$$

Так как $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$ то числитель равен

$$\sin\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\sin\alpha+1.$$

Следовательно,

$$\frac{\sin\alpha+1}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}=\frac{1}{\cos\alpha}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sin\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha(1+\cos\alpha)}$$;
б) $$\frac{1}{\cos\alpha}.$$