Упражнение 181 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\frac{1-\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\sin\alpha}{1+\sin\alpha}$$
   $$=\frac{\cos^2\alpha+\cos^2\alpha\sin\alpha}{1+\sin\alpha}$$
   $$=\frac{\cos^2\alpha(1+\sin\alpha)}{1+\sin\alpha}=\cos^2\alpha.$$
   Так как $$\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2},$$ то
   $$\cos^2\alpha=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac34.$$

2. $$\frac{1-\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{1+\cos\alpha}$$
   $$=\frac{\sin^2\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{1+\cos\alpha}$$
   $$=\frac{\sin^2\alpha(1+\cos\alpha)}{1+\cos\alpha}=\sin^2\alpha.$$
   Так как $$\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2},$$ то
   $$\sin^2\alpha=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac34.$$

3. $$\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\left(1+\frac{(1-\cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha}\right)-\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\left(\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)$$
   $$=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\frac{1-2\cos\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}$$
   $$=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\frac{2-2\cos\alpha}{\sin^2\alpha}$$
   $$=\frac{2(1-\cos^2\alpha)}{\sin^3\alpha}=\frac{2\sin^2\alpha}{\sin^3\alpha}=\frac{2}{\sin\alpha}.$$
   При $$\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$$ получаем
   $$\frac{2}{\sin\alpha}=\frac{2}{\sqrt3/2}=\frac{4\sqrt3}{3}.$$

4. $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$$
   $$=\frac{\sin^2\alpha+(1+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}$$
   $$=\frac{\sin^2\alpha+1+2\cos\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}$$
   $$=\frac{2(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}=\frac{2}{\sin\alpha}.$$
   Так как $$\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2},$$ то
   $$\frac{2}{\sin\alpha}=\frac{2}{\sqrt3/2}=\frac{4\sqrt3}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac34$$; б) $$\frac34$$; в) $$\frac{4\sqrt3}{3}$$; г) $$\frac{4\sqrt3}{3}$$.