Упражнение 180 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

$$\frac{2\cos^2\alpha-1}{8\tg\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}-\frac{2\cos^2\alpha-1}{8\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}$$
Так как $$2\cos^2\alpha-1=\cos 2\alpha,$$ а также
$$\sin\left(2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right),$$
то выражение упрощается до
$$\frac{\cos 2\alpha}{4\sin\left(2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\right)}-\frac{\cos 2\alpha}{4\sin\left(2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\right)}=\frac14.$$
$$2{,}5-\cos^4\alpha+\sin^4\alpha+\cos 2\alpha$$
Используем тождество $$\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos 2\alpha.$$
Тогда
$$2{,}5-\cos^4\alpha+\sin^4\alpha+\cos 2\alpha=2{,}5-\cos 2\alpha+\cos 2\alpha=2{,}5.$$
$$3(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)-3(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)$$
Положим $$x=\sin^2\alpha,\; y=\cos^2\alpha,$$ тогда $$x+y=1.$$ Имеем
$$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=1-3xy,$$
$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=1-2xy.$$
Следовательно,
$$3(x^3+y^3)-3(x^2+y^2)=3(1-3xy)-3(1-2xy)=-3xy.$$
Так как $$xy=\sin^2\alpha\cos^2\alpha,$$ то
$$3(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)-3(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)=-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$
$$4\sin^4\alpha+\sin^2 2\alpha-4\sin^2\alpha-\frac{7}{2}$$
Так как $$\sin^2 2\alpha=4\sin^2\alpha\cos^2\alpha,$$ то
$$4\sin^4\alpha+\sin^2 2\alpha-4\sin^2\alpha-\frac{7}{2}=4\sin^4\alpha+4\sin^2\alpha\cos^2\alpha-4\sin^2\alpha-\frac{7}{2}.$$
Вынесем $$4\sin^2\alpha$$:
$$4\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)-4\sin^2\alpha-\frac{7}{2}=-\frac{7}{2}.$$