Упражнение 168 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\frac{1}{\log_2 x-4}>\frac{1}{\log_2 x}$$

   Пусть $$t=\log_2 x$$, тогда $$t>0$$ и получаем

   $$\frac{1}{t-4}-\frac{1}{t}>0$$

   $$\frac{t-(t-4)}{t(t-4)}>0$$

   $$\frac{4}{t(t-4)}>0$$

   Так как числитель положителен, то

   $$t(t-4)>0$$

   С учётом $$t>0$$ получаем $$t>4$$, значит

   $$\log_2 x>4 \Rightarrow x>16$$

2. $$\frac{1}{\log_3 x-2}>\frac{1}{\log_3 x}$$

   Пусть $$t=\log_3 x$$, тогда $$t>0$$ и

   $$\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t}>0$$

   $$\frac{2}{t(t-2)}>0$$

   Следовательно,

   $$t(t-2)>0$$

   С учётом $$t>0$$ имеем $$t>2$$, значит

   $$\log_3 x>2 \Rightarrow x>9$$

3. $$\frac{1}{3+\log_2 x}<\frac{1}{\log_2 x}$$

   Пусть $$t=\log_2 x$$, тогда $$t>0$$ и

   $$\frac{1}{3+t}-\frac{1}{t}<0$$

   $$\frac{t-(3+t)}{t(3+t)}<0$$

   $$\frac{-3}{t(t+3)}<0$$

   Так как числитель отрицателен, то

   $$t(t+3)>0$$

   При $$t>0$$ это верно всегда, значит достаточно $$t>0$$, то есть

   $$\log_2 x>0 \Rightarrow x>1$$

4. $$\frac{1}{1-\log_{0,5}x}\le -\log_{0,5}x$$

   Пусть $$t=\log_{0,5}x$$, тогда $$t\ne 1$$ и $$t>0$$ не требуется заранее, а исходное неравенство перепишем так:

   $$\frac{1}{1-t}+\frac{1}{t}\le 0$$

   $$\frac{t+1-t}{t(1-t)}\le 0$$

   $$\frac{1}{t(1-t)}\le 0$$

   Это возможно только при

   $$t(1-t)<0$$

   Отсюда $$t>1$$, значит

   $$\log_{0,5}x>1 \Rightarrow x<0,5$$

Ответ

а) $$x>16$$; б) $$x>9$$; в) $$x>1$$; г) $$x<0,5$$.