Упражнение 167 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Пусть $$t=\log_a x,$$ тогда $$t>0.$$
Имеем:
$$4t-\frac{33}{t}\le 1.$$
Умножим на $$t>0$$:
$$4t^2-t-33\le 0.$$
Найдём корни уравнения $$4t^2-t-33=0$$:
$$D=1+528=529,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 23}{8},$$
откуда $$t_1=-3,\quad t_2=\frac{11}{4}.$$
С учётом $$t>0$$ получаем:
$$0<t\le \frac{11}{4}.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$0<\log_a x\le \frac{11}{4}.$$
При основании $$a>1$$ это равносильно:
$$1<x\le a^{11/4}.$$
б) Пусть $$t=\log_a x,$$ тогда $$t>0.$$
Тогда неравенство
$$\log_a x+\frac{2}{\log_a x}\ge 1$$
переходит в
$$t+\frac{2}{t}\ge 1.$$
Умножим на $$t>0$$:
$$t^2-t+2\ge 0.$$
Так как $$D=1-8=-7<0,$$ а старший коэффициент положителен, то
$$t^2-t+2>0$$ при всех $$t.$$
Значит, неравенство выполняется при всех допустимых $$t>0$$, то есть
$$\log_a x>0.$$
Следовательно,
$$x>1.$$
в) Пусть $$t=\log_5 x,$$ тогда $$t>0.$$
Имеем:
$$\log_5 x+\frac{2}{\log_5 x}\le 3,$$
то есть
$$t+\frac{2}{t}\le 3.$$
Умножим на $$t>0$$:
$$t^2-3t+2\le 0.$$
Разложим на множители:
$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)\le 0.$$
Отсюда
$$1\le t\le 2.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$1\le \log_5 x\le 2,$$
значит,
$$5\le x\le 25.$$