Упражнение 162 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) Пусть $$t=4^x,$$ тогда $$t>0.$$
Имеем
$$ 4^x \ge \frac{2\cdot 4^{x+1}+16}{16-4^x} \;\Longrightarrow\; t \ge \frac{8t+16}{16-t}. $$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ t(16-t)-8t-16 \ge 0 $$
$$ 16t-t^2-8t-16 \ge 0 $$
$$ -t^2+8t-16 \ge 0 $$
$$ -(t-4)^2 \ge 0. $$
Так как $$-(t-4)^2 \le 0,$$ то неравенство выполняется только при $$t=4.$$
Тогда $$4^x=4,$$ откуда $$x=1.$$
б) Пусть $$t=3^x,$$ тогда $$t>0.$$
Получаем
$$ \frac{53\cdot 3^x-243}{3^{x+1}-1} \ge 3^x \;\Longrightarrow\; \frac{53t-243}{3t-1}-t \ge 0. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{53t-243-t(3t-1)}{3t-1} \ge 0 $$
$$ \frac{-3t^2+54t-243}{3t-1} \ge 0 $$
$$ \frac{-3(t-9)^2}{3t-1} \ge 0. $$
Числитель не положителен, поэтому для выполнения неравенства нужно, чтобы
$$ 3t-1>0,\quad t=9. $$
Тогда $$3^x=9,$$ значит $$x=2.$$
в) Пусть $$t=2^x,$$ тогда $$t>0.$$
Имеем
$$ 2^x+\frac{2^{x+2}+4}{2^x-8}\ge 0 \;\Longrightarrow\; t+\frac{4t+4}{t-8}\ge 0. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{t(t-8)+4t+4}{t-8}\ge 0 $$
$$ \frac{t^2-4t+4}{t-8}\ge 0 $$
$$ \frac{(t-2)^2}{t-8}\ge 0. $$
Так как числитель неотрицателен, то неравенство выполняется при $$t>8$$ или при $$t=2.$$
Возвращаясь к $$t=2^x,$$ получаем:
$$ 2^x=2 \Rightarrow x=1, $$
или
$$ 2^x>8 \Rightarrow x>3. $$
г) Пусть $$t=4^x,$$ тогда $$t>0.$$
Решаем неравенство
$$ 4^x \le \frac{15\cdot 4^x-16}{4\cdot 4^x-1} \;\Longrightarrow\; t \le \frac{15t-16}{4t-1}. $$
Переносим всё в одну сторону:
$$ t(4t-1)-15t+16 \le 0 $$
$$ 4t^2-16t+16 \le 0 $$
$$ 4(t-2)^2 \le 0. $$
Следовательно, $$t=2.$$ Тогда
$$ 4^x=2 \Rightarrow 2^{2x}=2^1 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac12. $$
Ответ
а) $$x=1$$; б) $$x=2$$; в) $$x=1$$ или $$x>3$$; г) $$x=\frac12$$.
