Упражнение 161 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Пусть $$t=3^x,$$ тогда $$t>0.$$

Имеем:

$$3^{2x+1}-3^{x+4}<3^x-9$$

$$3\cdot 3^{2x}-81\cdot 3^x+9<0$$

$$9t^2-82t+9<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=82^2-4\cdot 9\cdot 9=6400,$$

$$t_{1,2}=\frac{82\pm 80}{18}.$$

Отсюда

$$t_1=\frac19,\qquad t_2=9.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$\frac19<t<9.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем:

$$\frac19<3^x<9,$$

$$-2<x<2.$$

б) Пусть $$t=2^x,$$ тогда $$t>0.$$

Тогда неравенство принимает вид:

$$2^{2x+2}-2^{x+2}<2^x-1$$

$$4\cdot 2^{2x}-(2^{x+2})-(2^x)+1<0$$

$$4t^2-5t+1<0.$$

Разложим на множители:

$$4t^2-5t+1=(4t-1)(t-1).$$

Тогда

$$\left(4t-1\right)\left(t-1\right)<0,$$

откуда

$$\frac14<t<1.$$

Возвращаясь к $$x,$$ получаем:

$$\frac14<2^x<1,$$

$$-2<x<0.$$

Ответ

а) $$-2<x<2$$; б) $$-2<x<0$$.