Упражнение 158 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Пусть $$t=(\sqrt{2}-1)^x.$$ Тогда $$t>0.$$

Имеем:

$$ (\sqrt{2}+1)^x=\left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right)^x=\frac{1}{(\sqrt{2}-1)^x}=\frac{1}{t}. $$

Тогда неравенство

$$ (\sqrt{2}+1)^x+1\le 2(\sqrt{2}-1)^x $$

преобразуется к виду

$$ \frac{1}{t}+1\le 2t. $$

Умножим на $$t>0$$:

$$ 1+t\le 2t^2, $$

или

$$ 2t^2-t-1\ge 0. $$

Решим квадратное неравенство:

$$ 2t^2-t-1=(2t+1)(t-1). $$

Корни: $$t=-\frac12$$ и $$t=1.$$ Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$ t\le -\frac12 \quad \text{или} \quad t\ge 1. $$

С учётом условия $$t>0$$ получаем:

$$ t\ge 1. $$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$ (\sqrt{2}-1)^x\ge 1. $$

Так как $$0<\sqrt{2}-1<1,$$ то функция $$ (\sqrt{2}-1)^x $$ убывает, и неравенство выполняется при

$$ x\le 0. $$

Ответ

$$x\in(-\infty;0].$$