Упражнение 157 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\frac{1}{2^x-1}-\frac{1}{4^x-3}>0$$
   $$\frac{4^x-3-(2^x-1)}{(2^x-1)(4^x-3)}>0$$
   $$\frac{2^{2x}-2^x-2}{(2^x-1)(2^{2x}-3)}>0$$

   Пусть $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем
   $$\frac{t^2-t-2}{(t-1)(t^2-3)}>0$$
   $$\frac{(t-2)(t+1)}{(t-1)(t-\sqrt{3})(t+\sqrt{3})}>0$$

   С учётом $$t>0$$ и метода интервалов:
   $$t\in(0,1)\cup(\sqrt{3},2)$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем
   $$2^x<1 \Rightarrow x<0,$$
   $$\sqrt{3}<2^x<2 \Rightarrow \frac{1}{2}\log_2 3<x<1.$$

   Значит,
   $$x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(\frac{1}{2}\log_2 3,\,1\right).$$

2. $$2^{2x+1}-21\left(\frac12\right)^{2x+3}+2\ge 0$$
   $$2\cdot 4^x-\frac{21}{8\cdot 4^x}+2\ge 0$$

   Пусть $$t=4^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$2t-\frac{21}{8t}+2\ge 0$$
   $$16t^2+16t-21\ge 0.$$

   Корни уравнения $$16t^2+16t-21=0$$:
   $$D=16^2-4\cdot 16\cdot(-21)=1600,$$
   $$t_1=\frac{-16+40}{32}=\frac34,\qquad t_2=\frac{-16-40}{32}=-\frac74.$$

   Так как $$t>0$$, то
   $$t\ge \frac34.$$
   Следовательно,
   $$4^x\ge \frac34,$$
   $$x\ge \log_4\frac34.$$

3. $$\frac{7}{9^x-2}-\frac{2}{3^x-1}\ge 0$$
   $$\frac{7(3^x-1)-2(9^x-2)}{(9^x-2)(3^x-1)}\ge 0$$

   Пусть $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$\frac{7(t-1)-2(t^2-2)}{(t^2-2)(t-1)}\ge 0$$
   $$\frac{-2t^2+7t-3}{(t^2-2)(t-1)}\ge 0$$
   $$\frac{-(2t-1)(t-3)}{(t-\sqrt2)(t+\sqrt2)(t-1)}\ge 0.$$

   По методу интервалов с учётом $$t>0$$:
   $$t\in\left[\frac12,1\right)\cup[\sqrt2,3].$$

   Тогда
   $$3^x\in\left[\frac12,1\right)\cup[\sqrt2,3],$$
   откуда
   $$x\in\left[\log_3\frac12,\,0\right)\cup\left[\frac12\log_3 2,\,1\right].$$

4. $$4^{4x+5}-15\left(\frac14\right)^{4x+3}+8>0$$
   $$4^{4x+5}-15\cdot 4^{-4x-3}+8>0.$$

   Пусть $$t=4^{4x}$$, тогда $$t>0$$:
   $$1024t-\frac{15}{64t}+8>0.$$
   Умножим на $$64t>0$$:
   $$65536t^2+512t-15>0.$$

   Найдём корни:
   $$D=512^2-4\cdot 65536\cdot(-15)=4194304,$$
   $$t_1=\frac{-512+2048}{131072}=\frac{3}{256},\qquad t_2=\frac{-512-2048}{131072}=-\frac{5}{256}.$$

   Так как $$t>0$$, то
   $$t>\frac{3}{256}.$$
   Значит,
   $$4^{4x}>\frac{3}{256},$$
   $$4^{4x+4}>3,$$
   $$4x+4>\log_4 3,$$
   $$x>\frac14\log_4 3-1.$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(\frac12\log_2 3,\,1\right)$$
2) $$x\ge \log_4\frac34$$
3) $$x\in\left[\log_3\frac12,\,0\right)\cup\left[\frac12\log_3 2,\,1\right]$$
4) $$x>\frac14\log_4 3-1$$