Упражнение 152 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$\log_3 x\,(5-2\log_3 x)=3,$$ $$x>0.$$

   Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда

   $$5t-2t^2=3,$$

   $$2t^2-5t+3=0.$$

   $$D=25-24=1,$$

   $$t_1=\frac{5-1}{4}=1,\qquad t_2=\frac{5+1}{4}=\frac32.$$

   Тогда

   $$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3,$$

   $$\log_3 x=\frac32 \Rightarrow x=3^{3/2}=3\sqrt3.$$

2. б) $$\left(\log_2 x\right)^2+3\log_2 x+2=0,$$ $$x>0.$$

   Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда

   $$t^2+3t+2=0,$$

   $$\left(t+1\right)\left(t+2\right)=0.$$

   Отсюда

   $$t=-1 \quad \text{или} \quad t=-2.$$

   Значит,

   $$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=2^{-1}=\frac12,$$

   $$\log_2 x=-2 \Rightarrow x=2^{-2}=\frac14.$$

3. в) $$\left(\frac12\log_3 x-6\right)\log_3 x=4\left(2-\log_3 x\right),$$ $$x>0.$$

   Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда

   $$\left(\frac12 t-6\right)t=4(2-t),$$

   $$\frac12 t^2-6t=8-4t,$$

   $$\frac12 t^2-2t-8=0,$$

   $$t^2-4t-16=0.$$

   $$D=16+64=80,$$

   $$t_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{80}}{2}=2\pm2\sqrt5.$$

   Следовательно,

   $$\log_3 x=2+2\sqrt5 \Rightarrow x=3^{\,2+2\sqrt5},$$

   $$\log_3 x=2-2\sqrt5 \Rightarrow x=3^{\,2-2\sqrt5}.$$

Ответ

а) $$x=3,\; 3\sqrt3$$;
б) $$x=\frac14,\; \frac12$$;
в) $$x=3^{\,2+2\sqrt5},\; 3^{\,2-2\sqrt5}$$.