Упражнение 146 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

1. $$4^{x-2}+38\cdot 3^x=4^{x+1}.$$
   Перенесём первое слагаемое вправо:
   $$38\cdot 3^x=4^{x+1}-4^{x-2}=4^{x-2}(4^3-1)=63\cdot 4^{x-2}.$$
   Тогда
   $$\frac{38}{63}\cdot 3^x=4^{x-2}.$$
   Запишем через степени с одинаковым основанием:
   $$\left(\frac{4}{3}\right)^x=\frac{49}{9}.$$
   Отсюда
   $$\left(\frac{7}{3}\right)^x=\left(\frac{7}{3}\right)^2,$$
   значит,
   $$x=2.$$

2. $$5^{x-1}+5^{x+2}=40\cdot 3^x.$$
   Вынесем $$5^{x-1}$$ за скобки:
   $$5^{x-1}(1+5^3)=40\cdot 3^x,$$
   $$126\cdot 5^{x-1}=40\cdot 3^x.$$
   Делим на $$5^{x-1}$$ и преобразуем:
   $$\left(\frac{5}{3}\right)^x=\frac{25}{9}.$$
   Тогда
   $$\left(\frac{5}{3}\right)^x=\left(\frac{5}{3}\right)^2,$$
   значит,
   $$x=2.$$

3. $$2^{x+1}-2^{x-1}=3^{2x}.$$
   Вынесем $$2^{x-1}$$:
   $$2^{x-1}(2^2-1)=3^{2x},$$
   $$3\cdot 2^{x-1}=3^{2x}.$$
   Перепишем:
   $$2^x\cdot 3=3^{2x+1}.$$
   Получаем
   $$6^x=6,$$
   значит,
   $$x=1.$$

4. $$3^{x-1}-3^{x+1}+2^{4-x}=0.$$
   Перенесём степени тройки в одну сторону:
   $$3^{x-1}(1-3^2)=-2^{4-x},$$
   $$-8\cdot 3^{x-1}=-2^{4-x}.$$
   Умножим на $$-1$$:
   $$8\cdot 3^{x-1}=2^{4-x}.$$
   Так как $$8=2^3$$, то
   $$2^3\cdot 3^{x-1}=2^{4-x}.$$
   Отсюда
   $$3^{x-1}=2^{1-x}.$$
   Значит,
   $$x=1.$$

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=2$$; 3) $$x=1$$; 4) $$x=1$$.