Упражнение 138 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а)

$$3^{2x-1}+3^{2x-2}-3^{2x-4}=315$$

Вынесем $$3^{2x-4}$$ за скобки:

$$3^{2x-4}\left(3^3+3^2-1\right)=315$$

$$3^{2x-4}(27+9-1)=315$$

$$35\cdot 3^{2x-4}=315$$

$$3^{2x-4}=9=3^2$$

$$2x-4=2$$

$$x=3$$

б)

$$81^{x-1}\cdot \left(\frac13\right)^{-x-4}+\left(\frac1{3^x}\right)^{-2}+2\left(-\frac19\right)\cdot \left(\frac13\right)^{-3}=0$$

Преобразуем степени:

$$81^{x-1}=3^{4x-4}, \qquad \left(\frac13\right)^{-x-4}=3^{x+4}, \qquad \left(\frac1{3^x}\right)^{-2}=3^{2x}, \qquad \left(\frac13\right)^{-3}=3^3$$

Тогда

$$3^{4x-4}\cdot 3^{x+4}+3^{2x}-2\cdot \frac19 \cdot 3^3=0$$

$$3^{5x}+3^{2x}-6=0$$

Положим $$t=3^{2x}$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

$$t^2+t-6=0$$

$$\left(t-2\right)\left(t+3\right)=0$$

$$t=2 \quad \text{или} \quad t=-3$$

Так как $$t>0$$, то $$t=2$$. Значит,

$$3^{2x}=2$$

$$2x=\log_3 2$$

$$x=\frac12\log_3 2=\log_{9}2$$

Ответ

а) $$x=3$$; б) $$x=\log_{9}2$$.