Упражнение 131 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\log_3 25 < \log_3 11$$ Так как основание $$3>1$$, знак неравенства сохраняется: $$25<11,$$ что неверно. Значит, неравенство не выполняется.
2. $$\log_2 60 < \log_2 30$$
   Так как основание $$2>1$$, знак неравенства сохраняется:
   $$60<30,$$
   что неверно. Значит, неравенство не выполняется.
3. $$\log_2 75 < \log_2 22$$
   Так как основание $$2>1$$, знак неравенства сохраняется:
   $$75<22,$$
   что неверно. Значит, неравенство не выполняется.
4. $$\log_2 20 > \log_3 40$$
   Перейдём к сравнению через степени:
   $$20=2^4+4,\qquad 40<3^4=81.$$
   Но основания разные, поэтому напрямую сравнить нельзя. Используем оценку:
   $$\log_2 20 \approx 4{,}32,\qquad \log_3 40 \approx 3{,}36,$$
   значит,
   $$\log_2 20 > \log_3 40.$$
5. $$\log_4 3 > \log_3 2$$
   Преобразуем:
   $$\log_4 3=\frac{\log_2 3}{\log_2 4}=\frac{\log_2 3}{2},\qquad \log_3 2=\frac{1}{\log_2 3}.$$
   Тогда нужно проверить:
   $$\frac{\log_2 3}{2} > \frac{1}{\log_2 3}.$$
   Умножим на положительное число $$2\log_2 3$$:
   $$(\log_2 3)^2>2.$$
   Так как $$\log_2 3\approx 1{,}585,$$ то
   $$(\log_2 3)^2\approx 2{,}51>2.$$
   Следовательно, неравенство верно.
6. $$\log_3 5 \vee \log_5 7$$
   Сравним:
   $$\log_3 5=\frac{\log_5 5}{\log_5 3}=\frac{1}{\log_5 3}.$$
   Так как $$\log_5 3<1,$$ то
   $$\frac{1}{\log_5 3}>1.$$
   Кроме того,
   $$\log_5 7>1,$$
   поскольку $$7>5.$$
   Для точного сравнения используем произведение:
   $$\log_3 5\cdot \log_5 7=\log_3 7.$$
   Так как $$7>3,$$ то $$\log_3 7>1,$$ значит оба числа больше 1, и
   $$\log_3 5>\log_5 7.$$

Ответ

1) неверно; 2) неверно; 3) неверно; 4) верно; 5) верно; 6) $$\log_3 5>\log_5 7$$.