Упражнение 119 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Пусть $$b_1=10$$, $$b_1+b_3$$ — целое число, кратное $$4$$, и $$b_1+b_3\le 1000$$. Для геометрической прогрессии

$$b_3=b_1q^2=10q^2.$$

Тогда

$$b_1+b_3=10+10q^2=10(1+q^2).$$

Так как это число кратно $$4$$, получаем

$$10(1+q^2)\equiv 0 \pmod 4,$$

откуда

$$1+q^2=4k,$$

где $$k\in \mathbb{N}.$$

Тогда

$$q=\sqrt{4k-1}.$$

Из условия $$b_1+b_3\le 1000$$ имеем

$$10(1+q^2)\le 1000,$$

$$1+q^2\le 100,$$

$$q^2\le 99.$$

Так как $$q>1$$, то

$$\sqrt{4k-1}>1 \;\Rightarrow\; 4k-1>1 \;\Rightarrow\; k>\frac12.$$

Следовательно, $$k\ge 1$$, а из $$4k-1\le 99$$ получаем $$k\le 25$$.

Значит,

$$q=\sqrt{4k-1}, \quad k\in[1;25].$$

б) Пусть $$b_3=8$$ и $$b_1+b_2=5k\le 500,$$ где $$0<q<1.$$

Для геометрической прогрессии

$$b_3=b_1q^2=8,\qquad b_1=\frac{8}{q^2}.$$

Тогда

$$b_1+b_2=b_1+b_1q=\frac{8}{q^2}+\frac{8}{q}=5k.$$

Умножим на $$q^2$$:

$$8+8q-5kq^2=0.$$

Решая это квадратное уравнение относительно $$q$$, получаем

$$q=\frac{8\pm\sqrt{64+160k}}{10k}=\frac{4\pm 2\sqrt{4+10k}}{5k}.$$

Так как $$0<q<1,$$ подходит только положительный корень:

$$q=\frac{4+2\sqrt{4+10k}}{5k}.$$

Из условия $$5k\le 500$$ следует $$k\le 100,$$ а поскольку $$b_1=\frac{8}{q^2}\le 500$$, получаем $$k\ge 4.$$

Итак,

$$q=\frac{4+2\sqrt{4+10k}}{5k}, \quad k\in[4;100].$$

Ответ

а) $$q=\sqrt{4k-1},\ k\in[1;25].$$

б) $$q=\frac{4+2\sqrt{4+10k}}{5k},\ k\in[4;100].$$