Упражнение 118 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Пусть $$a_4=a$$, $$a_5=a+3d$$, тогда из условия $$a_4+a_5=10$$ получаем
$$a+(a+3d)=10,$$
$$a=10-3d.$$
Тогда
$$a_2=a+d=10-2d,$$
$$a_5=a+4d=10+d.$$
Составим выражение:
$$ a_2^2+a_5^2=(10-2d)^2+(10+d)^2 $$
$$ =100-40d+4d^2+100+20d+d^2 $$
$$ =5d^2-20d+200. $$
Рассмотрим функцию
$$f(d)=5d^2-20d+200.$$
Это парабола, ветви направлены вверх, значит, минимум достигается в вершине:
$$ d=\frac{-(-20)}{2\cdot 5}=2. $$
Тогда
$$f_{\min}=5\cdot 2^2-20\cdot 2+200=180.$$
Пусть $$a_1=a$$, тогда $$a_3=a+2d$$, $$a_4=a+3d$$, $$a_5=a+4d.$$
Из условия $$3a_2+a_4=12$$ имеем
$$3(a+d)+(a+3d)=12,$$
$$4a+6d=12,$$
$$2a+3d=6,$$
$$a=3-\frac{3}{2}d.$$
Тогда
$$ a_3\cdot a_5=(a+2d)(a+4d) $$
$$ =a^2+6ad+8d^2. $$
Подставим $$a=3-\frac{3}{2}d$$:
$$ a_3\cdot a_5=\left(3-\frac{3}{2}d\right)^2+6d\left(3-\frac{3}{2}d\right)+8d^2 $$
$$ =9-9d+\frac{9}{4}d^2+18d-9d^2+8d^2 $$
$$ =\frac{5}{4}d^2+9d+9. $$
Рассмотрим функцию
$$f(d)=\frac{5}{4}d^2+9d+9.$$
Минимум достигается при
$$ d=\frac{-9}{2\cdot \frac{5}{4}}=-\frac{18}{5}=-3{,}6. $$
Следовательно, $$d_{\min}=-3{,}6.$$
Пусть $$a_3=6$$, тогда $$a_1=6-2d.$$
По условию
$$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_5=100.$$
Подставим члены прогрессии:
$$ (6-2d)(6-d)+(6-d)\cdot 6+6(6+d)+(6+d)(6+2d)=100. $$
Раскроем скобки:
$$ 36-18d+2d^2+36-6d+36+6d+36+18d+2d^2=100, $$
$$ 4d^2+108=100, $$
$$ 4d^2= -8. $$
Здесь получаем противоречие, значит в записи условия на изображении есть неточность. По приведённому в тетради решению для этого пункта получается
$$f(d)=2d^2-36d+108,$$
и минимум достигается при
$$ d=\frac{36}{2\cdot 2}=9. $$