Упражнение 117 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Используем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$

а) По условию:

$$S_n=\frac{40}{27}, \quad b_1=1, \quad S_{n+1}-S_n=\frac{20}{27}.$$

Тогда

$$S_{n+1}=S_n+\frac{20}{27}=\frac{40}{27}+\frac{20}{27}=\frac{60}{27}=\frac{20}{9}.$$

С другой стороны,

$$S_n=\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{40}{27},$$

$$S_{n+1}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=\frac{20}{9}.$$

Вычтем первое равенство из второго:

$$\frac{q^{n+1}-1}{q-1}-\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{20}{9}-\frac{40}{27}.$$

Получаем

$$\frac{q^n(q-1)}{q-1}=\frac{20}{27},$$

то есть

$$q^n=\frac{20}{27}.$$

Подставим в формулу для суммы:

$$\frac{\frac{20}{27}q-1}{q-1}=\frac{40}{27}.$$

Умножим на $27(q-1)$:

$$20q-27=40q-40.$$

Отсюда

$$20q=13,\qquad q=\frac{13}{20}.$$

б) По условию:

$$S_n=\frac{21}{16}, \quad b_1=1, \quad S_{n+1}=\frac{13}{16}.$$

Если $q>0$, то

$$S_n=\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{21}{16},$$

$$S_{n+1}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=\frac{13}{16}.$$

Умножим на $16(q-1)$:

$$16(q^n-1)=21(q-1),$$

$$16(q^{n+1}-1)=13(q-1).$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$16q^n(q-1)= -8(q-1).$$

Так как $q\ne 1$, получаем

$$16q^n=-8,$$

что невозможно при $q>0$. Значит, нужно рассмотреть случай $q<0$.

Тогда

$$S_n=\frac{1-q^n}{1-q}.$$

Из условий:

$$\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{21}{16},$$

$$\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{13}{16}.$$

Умножим на $16(1-q)$:

$$16(1-q^n)=21(1-q),$$

$$16(1-q^{n+1})=13(1-q).$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$16q^n(1-q)=8(1-q).$$

Так как $q\ne 1$, имеем

$$16q^n=8,\qquad q^n=\frac12.$$

Подставим в первое уравнение:

$$16\left(1-\frac12\right)=21(1-q),$$

$$8=21(1-q),$$

$$1-q=\frac{8}{21},\qquad q=\frac{13}{21}.$$

Ответ

а) $$q=\frac{13}{20}$$

б) $$q=\frac{13}{21}$$