Упражнение 117 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Используем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$

а) По условию:

$$S_n=\frac{40}{27}, \quad b_1=1, \quad S_{n+1}-S_n=\frac{20}{27}.$$

Тогда

$$S_{n+1}=S_n+\frac{20}{27}=\frac{40}{27}+\frac{20}{27}=\frac{60}{27}=\frac{20}{9}.$$

С другой стороны,

$$S_n=\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{40}{27},$$

$$S_{n+1}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=\frac{20}{9}.$$

Вычтем первое равенство из второго:

$$\frac{q^{n+1}-1}{q-1}-\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{20}{9}-\frac{40}{27}.$$

Получаем

$$\frac{q^n(q-1)}{q-1}=\frac{20}{27},$$

то есть

$$q^n=\frac{20}{27}.$$

Подставим в формулу для суммы:

$$\frac{\frac{20}{27}q-1}{q-1}=\frac{40}{27}.$$

Умножим на $$27(q-1)$$:

$$20q-27=40q-40.$$

Отсюда

$$20q=13,\qquad q=\frac{13}{20}.$$

б) По условию:

$$S_n=\frac{21}{16}, \quad b_1=1, \quad S_{n+1}=\frac{13}{16}.$$

Если $$q>0$$, то

$$S_n=\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{21}{16},$$

$$S_{n+1}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=\frac{13}{16}.$$

Умножим на $$16(q-1)$$:

$$16(q^n-1)=21(q-1),$$

$$16(q^{n+1}-1)=13(q-1).$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$16q^n(q-1)= -8(q-1).$$

Так как $$q\ne 1$$, получаем

$$16q^n=-8,$$

что невозможно при $$q>0$$. Значит, нужно рассмотреть случай $$q<0$$.

Тогда

$$S_n=\frac{1-q^n}{1-q}.$$

Из условий:

$$\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{21}{16},$$

$$\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{13}{16}.$$

Умножим на $$16(1-q)$$:

$$16(1-q^n)=21(1-q),$$

$$16(1-q^{n+1})=13(1-q).$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$16q^n(1-q)=8(1-q).$$

Так как $$q\ne 1$$, имеем

$$16q^n=8,\qquad q^n=\frac12.$$

Подставим в первое уравнение:

$$16\left(1-\frac12\right)=21(1-q),$$

$$8=21(1-q),$$

$$1-q=\frac{8}{21},\qquad q=\frac{13}{21}.$$

Ответ

а) $$q=\frac{13}{20}$$

б) $$q=\frac{13}{21}$$