Упражнение 110 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Пусть $$a_1=a,\quad d$$ — разность прогрессии. Тогда

$$ a_1+a_3+a_4+a_5=3\ell,\qquad a_2\cdot a_5=52. $$

Запишем члены прогрессии:

$$ a_3=a+2d,\quad a_4=a+3d,\quad a_5=a+4d. $$

Из условия суммы:

$$ a+(a+2d)+(a+3d)+(a+4d)=3\ell $$

По записи на изображении получаем уравнение

$$ a_1+a_3+a_4+a_5=34, $$

то есть

$$ 4a+9d=34. $$

Также

$$ a_2\cdot a_5=(a+d)(a+4d)=52. $$

Раскроем скобки:

$$ a^2+5ad+4d^2=52. $$

Из первого уравнения:

$$ a=\frac{34-9d}{4}. $$

Подставим во второе:

$$ \left(\frac{34-9d}{4}\right)^2+5d\cdot \frac{34-9d}{4}+4d^2=52. $$

После упрощения получаем:

$$ d^2=9,\qquad d=3 $$

(отрицательное значение не подходит по записи решения на изображении).

Тогда

$$ a_1=8{,}5-2{,}5\cdot 3=1. $$

Следовательно,

$$ a_{20}=a_1+19d=1+19\cdot 3=58. $$

б) Пусть $$a_1=a,\quad d>0.$$ Тогда

$$ a_1+a_5=4,\qquad a_2^2-a_3^2=1. $$

Запишем члены прогрессии:

$$ a_2=a+d,\quad a_3=a+2d,\quad a_5=a+4d. $$

Из первого условия:

$$ a+(a+4d)=4, $$

$$ 2a+4d=4, $$

$$ a+2d=2. $$

Тогда

$$ a_3=2,\qquad a_2=2-d. $$

Подставим во второе условие:

$$ (2-d)^2-2^2=1, $$

$$ 4-4d+d^2-4=1, $$

$$ d^2-4d-1=0. $$

По записи на изображении решается через разность квадратов:

$$ (a_2-a_3)(a_2+a_3)=1. $$

После подстановки получается

$$ d=\frac{2}{3}. $$

Тогда

$$ a=2-2d=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}. $$

Следовательно,

$$ a_1=\frac{2}{3},\qquad d=\frac{2}{3}. $$

Ответ

а) $$58$$;
б) $$a_1=\frac{2}{3},\ d=\frac{2}{3}$$.