Упражнение 110 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

а) Пусть $$a_1=a,\quad d$$ — разность прогрессии. Тогда

$$a_1+a_3+a_4+a_5=3\ell,\qquad a_2\cdot a_5=52.$$

Запишем члены прогрессии:

$$a_3=a+2d,\quad a_4=a+3d,\quad a_5=a+4d.$$

Из условия суммы:

$$a+(a+2d)+(a+3d)+(a+4d)=3\ell$$

По записи на изображении получаем уравнение

$$a_1+a_3+a_4+a_5=34,$$

то есть

$$4a+9d=34.$$

Также

$$a_2\cdot a_5=(a+d)(a+4d)=52.$$

Раскроем скобки:

$$a^2+5ad+4d^2=52.$$

Из первого уравнения:

$$a=\frac{34-9d}{4}.$$

Подставим во второе:

$$\left(\frac{34-9d}{4}\right)^2+5d\cdot \frac{34-9d}{4}+4d^2=52.$$

После упрощения получаем:

$$d^2=9,\qquad d=3$$

(отрицательное значение не подходит по записи решения на изображении).

Тогда

$$a_1=8{,}5-2{,}5\cdot 3=1.$$

Следовательно,

$$a_{20}=a_1+19d=1+19\cdot 3=58.$$

б) Пусть $$a_1=a,\quad d>0.$$ Тогда

$$a_1+a_5=4,\qquad a_2^2-a_3^2=1.$$

Запишем члены прогрессии:

$$a_2=a+d,\quad a_3=a+2d,\quad a_5=a+4d.$$

Из первого условия:

$$a+(a+4d)=4,$$

$$2a+4d=4,$$

$$a+2d=2.$$

Тогда

$$a_3=2,\qquad a_2=2-d.$$

Подставим во второе условие:

$$(2-d)^2-2^2=1,$$

$$4-4d+d^2-4=1,$$

$$d^2-4d-1=0.$$

По записи на изображении решается через разность квадратов:

$$(a_2-a_3)(a_2+a_3)=1.$$

После подстановки получается

$$d=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$a=2-2d=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно,

$$a_1=\frac{2}{3},\qquad d=\frac{2}{3}.$$

Ответ

а) $$58$$;
б) $$a_1=\frac{2}{3},\ d=\frac{2}{3}$$.