Раздел11.9 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

В этом пункте рассматривается специальный приём решения уравнений и неравенств, содержащих выражения $$\sin x+\cos x$$, $$\sin x-\cos x$$ и $$\sin x\cos x$$.

Удобно ввести замену:

$$t=\sin x+\cos x.$$

Тогда

$$t^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

откуда

$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}.$$

Кроме того,

$$\sin x-\cos x=\pm\sqrt{2-t^2},$$

так как

$$\left(\sin x+\cos x\right)^2+\left(\sin x-\cos x\right)^2=2.$$

При такой замене исходные уравнения и неравенства сводятся к более простым относительно $$t$$, после чего нужно не забыть учесть область возможных значений:

$$- \sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}.$$

Ответ

Используется замена $$t=\sin x+\cos x$$, при которой

$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}, \qquad \sin x-\cos x=\pm\sqrt{2-t^2}, \qquad -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}.$$