Упр.11.9 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) $$\sin^2 x=1$$
$$\sin^2 x-1=0$$
$$\left(\sin x-1\right)\left(\sin x+1\right)=0$$
Отсюда
$$\sin x=1 \quad \text{или} \quad \sin x=-1.$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Можно записать короче:
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
б) $$\cos^2 x=1$$
$$\cos^2 x-1=0$$
$$\left(\cos x-1\right)\left(\cos x+1\right)=0$$
Отсюда
$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-1.$$
$$x=2\pi k \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Можно записать короче:
$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
в) $$\tg^2 x=1$$
$$\tg^2 x-1=0$$
$$\left(\tg x-1\right)\left(\tg x+1\right)=0$$
Отсюда
$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-1.$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
г) $$\ctg^2 x=1$$
$$\ctg^2 x-1=0$$
$$\left(\ctg x-1\right)\left(\ctg x+1\right)=0$$
Отсюда
$$\ctg x=1 \quad \text{или} \quad \ctg x=-1.$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
д) $$\sin^2 x=\frac14$$
$$\sin^2 x-\frac14=0$$
$$\left(\sin x-\frac12\right)\left(\sin x+\frac12\right)=0$$
Отсюда
$$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ -\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Можно записать компактно:
$$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
е) $$\cos^2 x=\frac14$$
$$\cos^2 x-\frac14=0$$
$$\left(\cos x-\frac12\right)\left(\cos x+\frac12\right)=0$$
Отсюда
$$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Можно записать короче:
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
ж) $$\tg^2 x=3$$
$$\tg^2 x-3=0$$
$$\left(\tg x-\sqrt3\right)\left(\tg x+\sqrt3\right)=0$$
Отсюда
$$\tg x=\sqrt3 \quad \text{или} \quad \tg x=-\sqrt3.$$
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
з) $$\ctg^2 x=\frac13$$
$$\ctg^2 x-\frac13=0$$
$$\left(\ctg x-\frac{1}{\sqrt3}\right)\left(\ctg x+\frac{1}{\sqrt3}\right)=0$$
Отсюда
$$\ctg x=\frac{1}{\sqrt3} \quad \text{или} \quad \ctg x=-\frac{1}{\sqrt3}.$$
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
и) $$\sin^2 x=\frac12$$
$$\sin^2 x-\frac12=0$$
$$\left(\sin x-\frac{1}{\sqrt2}\right)\left(\sin x+\frac{1}{\sqrt2}\right)=0$$
Отсюда
$$\sin x=\frac{1}{\sqrt2} \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac{1}{\sqrt2}.$$
$$x=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
к) $$\cos^2 x=\frac34$$
$$\cos^2 x-\frac34=0$$
$$\left(\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\right)\left(\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\right)=0$$
Отсюда
$$\cos x=\frac{\sqrt3}{2} \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
$$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Можно записать короче:
$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
л) $$\ctg^2 x=3$$
$$\ctg^2 x-3=0$$
$$\left(\ctg x-\sqrt3\right)\left(\ctg x+\sqrt3\right)=0$$
Отсюда
$$\ctg x=\sqrt3 \quad \text{или} \quad \ctg x=-\sqrt3.$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
м) $$\tg^2 x=\frac13$$
$$\tg^2 x-\frac13=0$$
$$\left(\tg x-\frac{1}{\sqrt3}\right)\left(\tg x+\frac{1}{\sqrt3}\right)=0$$
Отсюда
$$\tg x=\frac{1}{\sqrt3} \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac{1}{\sqrt3}.$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k$$

б) $$x=\pi k$$

в) $$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi k$$

г) $$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi k$$

д) $$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k$$

е) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi k$$

ж) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi k$$

з) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\ \frac{2\pi}{3}+\pi k$$

и) $$x=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k$$

к) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k$$

л) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\ \frac{5\pi}{6}+\pi k$$

м) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$