Раздел11.8 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

В этом пункте рассматривается приём введения вспомогательного угла для выражений вида $$a\sin x+b\cos x.$$

Идея состоит в том, чтобы представить сумму в виде одной тригонометрической функции:

$$a\sin x+b\cos x = R\sin(x+\varphi),$$

где $$R=\sqrt{a^2+b^2}.$$ Тогда

$$R\sin(x+\varphi)=R(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi).$$

Сравнивая коэффициенты, получаем

$$R\cos\varphi=a,\qquad R\sin\varphi=b.$$

Отсюда

$$\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\qquad \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

После этого уравнения и неравенства вида $$a\sin x+b\cos x=c$$ сводятся к более простым:

$$R\sin(x+\varphi)=c.$$

Это позволяет использовать стандартные формулы и находить решения в общем виде.

Ответ

Приём введения вспомогательного угла позволяет заменить выражение $$a\sin x+b\cos x$$ одной тригонометрической функцией вида $$R\sin(x+\varphi)$$, где $$R=\sqrt{a^2+b^2}.$$