Раздел11.6 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Для неравенств с тангенсом и котангенсом удобно опираться на их графики и периодичность.

Функция $$y=\tg x$$ на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right)$$, $$k\in\mathbb Z,$$ строго возрастает и принимает все действительные значения. Поэтому неравенства вида $$\tg x>a$$ и $$\tg x<a$$ решаются на каждом таком промежутке как обычные неравенства для возрастающей функции:

• $$\tg x>a \iff x\in\left(\arctan a+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z;$$
• $$\tg x<a \iff x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\arctan a+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Функция $$y=\ctg x$$ на каждом промежутке $$\left(\pi k;\,\pi+\pi k\right)$$, $$k\in\mathbb Z,$$ строго убывает и также принимает все действительные значения. Поэтому:

• $$\ctg x>a \iff x\in\left(\pi k;\,\operatorname{arccot} a+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z;$$
• $$\ctg x<a \iff x\in\left(\operatorname{arccot} a+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Здесь $$\arctan a$$ и $$\operatorname{arccot} a$$ — соответствующие значения, при которых $$\tg x=a$$ и $$\ctg x=a$$.

Таким образом, решения простейших неравенств для тангенса и котангенса удобно находить по графику или по единичному кругу, двигаясь по оси углов слева направо.

Ответ

$$\tg x>a \iff x\in\left(\arctan a+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
$$\tg x<a \iff x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\arctan a+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
$$\ctg x>a \iff x\in\left(\pi k;\,\operatorname{arccot} a+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
$$\ctg x<a \iff x\in\left(\operatorname{arccot} a+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$