Упр.11.59 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Обозначим $$t=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$\sin 2x-3\sin x-3\cos x+3<0$$

$$2\sin x\cos x-3(\sin x+\cos x)+3<0$$

$$t^2-3t+2<0,$$

так как $$t^2=(\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x.$$

Решаем неравенство:

$$t^2-3t+2=(t-1)(t-2)<0,$$

откуда

$$1<t<2.$$

Но $$t=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$ поэтому

$$1<\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<2,$$

$$\frac{\sqrt2}{2}<\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<\sqrt2.$$

Так как $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ верхнее неравенство выполняется всегда, и остаётся

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Обозначим $$t=\sin x-\cos x.$$ Тогда

$$\sin 2x-3\sin x+3\cos x-3<0$$

$$2\sin x\cos x-3(\sin x-\cos x)-3<0.$$

С учётом

$$t^2=(\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=1-2\sin x\cos x,$$

получаем

$$1-t^2-3t-3<0,$$

$$t^2+3t+2>0,$$

$$ (t+1)(t+2)>0.$$

Отсюда

$$t<-2 \quad \text{или} \quad t>-1.$$

Но $$t=\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$ значит

$$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<-2 \quad \text{или} \quad \sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>-\sqrt2.$$

Первое неравенство решений не имеет, так как $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge -1.$$

Остаётся

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>- \frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x-\frac{\pi}{4}<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Обозначим $$t=\sin x-\cos x.$$ Тогда

$$\sin 2x+\sin x-\cos x+1>0$$

$$2\sin x\cos x+(\sin x-\cos x)+1>0.$$

Так как

$$t^2=1-2\sin x\cos x,$$

то $$2\sin x\cos x=1-t^2.$$ Следовательно,

$$1-t^2+t+1>0,$$

$$t^2-t-2<0,$$

$$ (t-2)(t+1)<0,$$

откуда

$$-1<t<2.$$

Но $$t=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$ значит

$$-\frac{1}{\sqrt2}<\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<\sqrt2.$$

Верхнее неравенство выполняется всегда, поэтому

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>-\frac{1}{\sqrt2}.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x-\frac{\pi}{4}<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Обозначим $$t=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$\sin 2x+\sin x+\cos x+1>0$$

$$2\sin x\cos x+(\sin x+\cos x)+1>0.$$

Поскольку

$$t^2=1+2\sin x\cos x,$$

получаем

$$t^2+t>0,$$

$$t(t+1)>0.$$

Отсюда

$$t<-1 \quad \text{или} \quad t>0.$$

Так как $$t=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$ имеем

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<-\frac{1}{\sqrt2} \quad \text{или} \quad \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0.$$

Следовательно,

$$\frac{5\pi}{4}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{7\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\pi+2\pi n,$$

то есть

$$\pi+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad -\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$