Упр.11.58 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Преобразуем уравнение:

$$\sin^3 x+\cos^3 x=\sin 2x+1.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$\sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x).$$

Тогда

$$ (\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=2\sin x\cos x+1.$$

Введём замену $$t=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}.$$

Получаем:

$$t\left(1-\frac{t^2-1}{2}\right)=t^2,$$

$$t\left(\frac{3-t^2}{2}\right)=t^2,$$

$$t(3-t^2)=2t^2,$$

$$t^3+2t^2-3t=0,$$

$$t(t^2+2t-3)=0,$$

$$t(t-1)(t+3)=0.$$

Отсюда:

$$t=0,\quad t=1,\quad t=-3.$$

Но $$t=\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ поэтому $$t=-3$$ не подходит.

Решаем оставшиеся уравнения:

$$\sin x+\cos x=0,$$

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

$$\sin x+\cos x=1,$$

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$\sin^3 x-\cos^3 x=\sin 2x-1.$$

Используем формулу разности кубов:

$$\sin^3 x-\cos^3 x=(\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x).$$

Тогда

$$ (\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)=2\sin x\cos x-1.$$

Введём замену $$t=\sin x-\cos x.$$ Тогда

$$\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}.$$

Получаем:

$$t\left(1+\frac{1-t^2}{2}\right)=1-t^2,$$

$$t\left(\frac{3-t^2}{2}\right)=1-t^2,$$

$$t(3-t^2)=2-2t^2,$$

$$t^3-2t^2-3t+2=0.$$

Удобнее перейти к виду, который даёт разложение:

$$t^3-2t^2-3t+2=(t-1)(t^2-t-2)=(t-1)(t-2)(t+1)=0.$$

Следовательно,

$$t=1,\quad t=2,\quad t=-1.$$

Так как $$t=\sin x-\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ значение $$t=2$$ не подходит.

Решаем оставшиеся уравнения:

$$\sin x-\cos x=1,$$

$$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

$$\sin x-\cos x=-1,$$

$$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=\pi+2\pi n,\; x=2\pi n,\; x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$