Упр.11.57 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) Пусть $$t=\sin x+\cos x.$$ Тогда
$$2\sin x\cos x=t^2-1.$$
Из уравнения
$$2\sin x\cos x+3\sin x+3\cos x=\frac34$$
получаем
$$t^2-1+3t=\frac34,$$
$$t^2+3t-\frac74=0,$$
$$4t^2+12t-7=0.$$
$$D=12^2-4\cdot 4\cdot(-7)=256,$$
$$t_1=\frac{-12+16}{8}=\frac12,\qquad t_2=\frac{-12-16}{8}=-\frac72.$$
Так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ то $$t_2=-\frac72$$ не подходит.
Итак,
$$\sin x+\cos x=\frac12.$$
Тогда
$$\sqrt2\sin x+\sqrt2\cos x=\frac{\sqrt2}{2},$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{4}.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Пусть $$t=\sin x+\cos x.$$ Тогда
$$2\sin x\cos x=t^2-1.$$
Из уравнения
$$2\sin x\cos x+5\sin x+5\cos x=1\frac34=\frac74$$
получаем
$$t^2-1+5t=\frac74,$$
$$t^2+5t-\frac{11}{4}=0,$$
$$4t^2+20t-11=0.$$
$$D=20^2-4\cdot 4\cdot(-11)=576,$$
$$t_1=\frac{-20+24}{8}=\frac12,\qquad t_2=\frac{-20-24}{8}=-\frac{11}{2}.$$
Так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ то $$t_2=-\frac{11}{2}$$ не подходит.
Итак,
$$\sin x+\cos x=\frac12.$$
Тогда
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{4}.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) Пусть $$t=\sin x+\cos x.$$ Тогда
$$2\sin x\cos x=t^2-1.$$
Из уравнения
$$2\sin x\cos x+5\sin x+5\cos x=\frac34$$
получаем
$$t^2-1+5t=\frac34,$$
$$t^2+5t-\frac74=0,$$
$$4t^2+20t-7=0.$$
$$D=20^2-4\cdot 4\cdot(-7)=576,$$
$$t_1=\frac{-20+24}{8}=\frac12,\qquad t_2=\frac{-20-24}{8}=-\frac{11}{2}.$$
Так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ то $$t_2=-\frac{11}{2}$$ не подходит.
Итак,
$$\sin x+\cos x=\frac12.$$
Тогда
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{4}.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) Пусть $$t=\sin x+\cos x.$$ Тогда
$$2\sin x\cos x=t^2-1.$$
Из уравнения
$$2\sin x\cos x-5\sin x-5\cos x=-3\frac14=-\frac{13}{4}$$
получаем
$$t^2-1-5t=-\frac{13}{4},$$
$$t^2-5t+\frac94=0,$$
$$4t^2-20t+9=0.$$
$$D=20^2-4\cdot 4\cdot 9=256,$$
$$t_1=\frac{20+16}{8}=\frac92,\qquad t_2=\frac{20-16}{8}=\frac12.$$
Так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ то $$t_1=\frac92$$ не подходит.
Итак,
$$\sin x+\cos x=\frac12.$$
Тогда
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{4}.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
