Упр.11.56 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$2\sin x\cos x+\sin x+\cos x=1$$

   Положим $$t=\sin x+\cos x$$. Тогда

   $$t^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

   откуда $$2\sin x\cos x=t^2-1.$$

   Получаем уравнение

   $$t^2+t-2=0,$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-2.$$

   Значит, нужно решить два уравнения:

   $$\sin x+\cos x=1,$$

   $$\sin x+\cos x=-2.$$

   Так как $$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$ то второе уравнение решений не имеет, поскольку

   $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],\qquad -2<-\sqrt2.$$

   Для первого уравнения:

   $$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}.$$

   Тогда

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\sin x\cos x-\sin x-\cos x=1$$

   Положим $$t=\sin x+\cos x$$. Тогда

   $$2\sin x\cos x=t^2-1,$$

   и уравнение принимает вид

   $$t^2-t-2=0.$$

   Отсюда

   $$t_1=2,\quad t_2=-1.$$

   Решаем два уравнения:

   $$\sin x+\cos x=2,$$

   $$\sin x+\cos x=-1.$$

   Первое уравнение решений не имеет, так как $$\sin x+\cos x\le \sqrt2<2.$$

   Для второго:

   $$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}.$$

   Следовательно,

   $$x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

3. $$2\sin x\cos x+\sin x-\cos x=3$$

   Положим $$t=\sin x-\cos x$$. Тогда

   $$t^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=1-2\sin x\cos x,$$

   откуда

   $$2\sin x\cos x=1-t^2.$$

   Подставим в уравнение:

   $$1-t^2+t=3,$$

   $$t^2-t+2=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(-1)^2-8=-7<0.$$

   Следовательно, решений нет.

4. $$2\sin x\cos x-\sin x+\cos x=-1$$

   Положим $$t=\sin x-\cos x$$. Тогда

   $$2\sin x\cos x=1-t^2,$$

   и получаем

   $$1-t^2-t=-1,$$

   $$t^2+t-2=0.$$

   Отсюда

   $$t_1=1,\quad t_2=-2.$$

   Решаем два уравнения:

   $$\sin x-\cos x=1,$$

   $$\sin x-\cos x=-2.$$

   Так как $$\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$ то второе уравнение решений не имеет, поскольку $$-2<-\sqrt2.$$

   Для первого уравнения:

   $$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}.$$

   Следовательно,

   $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=2\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) решений нет;
г) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$