Упр.11.52 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$\sin x+\cos x>-\sqrt2$$

   Разделим обе части на $$\sqrt2>0$$:

   $$\frac{1}{\sqrt2}\sin x+\frac{1}{\sqrt2}\cos x>-1.$$

   Так как $$\frac{1}{\sqrt2}=\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4},$$ то

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>-1.$$

   Это неравенство выполняется при всех $$x$$, кроме тех, для которых

   $$x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x\ne -\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\sin x-\cos x<\sqrt2$$

   Делим на $$\sqrt2>0$$:

   $$\frac{1}{\sqrt2}\sin x-\frac{1}{\sqrt2}\cos x<1.$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<1.$$

   Это верно при всех $$x$$, кроме

   $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит,

   $$x\ne \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\sin x+\cos x>-\frac{\sqrt2}{2}$$

   Умножим на $$\sqrt2>0$$:

   $$\frac{1}{\sqrt2}\sin x+\frac{1}{\sqrt2}\cos x>-\frac12.$$

   Тогда

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>-\frac12.$$

   Решение:

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$-\frac{5\pi}{12}+2\pi n<x<\frac{11\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\sin x-\cos x>\frac{\sqrt2}{2}$$

   Делим на $$\sqrt2>0$$:

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>\frac12.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x-\frac{\pi}{4}<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$\frac{5\pi}{12}+2\pi n<x<\frac{13\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. д) $$\sin x+\sqrt3\cos x>1$$

   Представим левую часть в виде одной синусоиды:

   $$\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)>1,$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)>\frac12.$$

   Отсюда

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x+\frac{\pi}{3}<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. е) $$\sin x-\sqrt3\cos x<-1$$

   Запишем левую часть как одну синусоиду:

   $$\sin x-\sqrt3\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<-1,$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<-\frac12.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x-\frac{\pi}{3}<-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

7. ж) $$3\sin x-4\cos x>0$$

   Представим выражение в виде одной синусоиды:

   $$3\sin x-4\cos x=5\sin(x-\alpha),$$

   где

   $$\cos\alpha=\frac35,\quad \sin\alpha=\frac45,\quad \alpha=\arctan\frac43.$$

   Тогда

   $$\sin(x-\alpha)>0.$$

   Значит,

   $$2\pi n<x-\alpha<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$\arctan\frac43+2\pi n<x<\pi+\arctan\frac43+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

8. з) $$5\sin x-12\cos x<0$$

   Запишем в виде одной синусоиды:

   $$5\sin x-12\cos x=13\sin(x-\beta),$$

   где

   $$\cos\beta=\frac{5}{13},\quad \sin\beta=\frac{12}{13},\quad \beta=\arctan\frac{12}{5}.$$

   Тогда

   $$\sin(x-\beta)<0.$$

   Следовательно,

   $$\pi+2\pi n<x-\beta<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$\pi+\arctan\frac{12}{5}+2\pi n<x<2\pi+\arctan\frac{12}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1. а) $$x\ne -\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2. б) $$x\ne \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3. в) $$-\frac{5\pi}{12}+2\pi n<x<\frac{11\pi}{12}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4. г) $$\frac{5\pi}{12}+2\pi n<x<\frac{13\pi}{12}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
5. д) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
6. е) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
7. ж) $$\arctan\frac43+2\pi n<x<\pi+\arctan\frac43+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
8. з) $$\pi+\arctan\frac{12}{5}+2\pi n<x<2\pi+\arctan\frac{12}{5}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$