Упр.11.51 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$2\sqrt{3}\sin^2 x-2\sin x\cos x=\sqrt{3}-1$$
   $$2\sqrt{3}(1-\cos^2 x)-\sin 2x=\sqrt{3}-1$$
   $$2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\cos^2 x-\sin 2x=\sqrt{3}-1$$
   $$\sqrt{3}\cos 2x+\sin 2x=1$$
   $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\frac12\sin 2x=\frac12$$
   $$\cos\frac{\pi}{6}\cos 2x+\sin\frac{\pi}{6}\sin 2x=\frac12$$
   $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12$$
   $$2x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{12}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

2. $$\sin^2 x-\sqrt{3}\sin x\cos x=1$$
   $$\frac{1-\cos 2x}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=1$$
   $$\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=-1$$
   $$\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=-\frac12$$
   $$\cos\frac{\pi}{3}\cos 2x+\sin\frac{\pi}{3}\sin 2x=-\frac12$$
   $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12$$
   $$2x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

3. $$(2+\sqrt{3})\sin^2 x-(3+\sqrt{3})\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
   $$ (2+\sqrt{3})(1-\cos^2 x)-(3+\sqrt{3})\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
   $$ (1+\sqrt{3})\cos^2 x+(3+\sqrt{3})\sin x\cos x-(2+\sqrt{3})=0$$
   $$ (1+\sqrt{3})\cos^2 x+(3+\sqrt{3})\sin x\cos x=(2+\sqrt{3})$$
   $$ \cos x\bigl((1+\sqrt{3})\cos x+(3+\sqrt{3})\sin x\bigr)=2+\sqrt{3}$$
   $$ \sin\alpha=\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{2\sqrt{3}+4}},\qquad \cos\alpha=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2\sqrt{3}+4}}$$
   $$ \sin(2x+\alpha)=\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{2\sqrt{3}+4}}$$
   $$ 2x+\alpha=\arcsin\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{2\sqrt{3}+4}}+2\pi k$$
   $$ 2x+\alpha=\pi-\arcsin\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{2\sqrt{3}+4}}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
   $$ x=\frac12\arcsin\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{2\sqrt{3}+4}}-\frac{\alpha}{2}+\pi k$$
   $$ x=\frac{\pi}{2}-\frac12\arcsin\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{2\sqrt{3}+4}}-\frac{\alpha}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

4. $$(1+\sqrt{3})\sin^2 x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+(\sqrt{3}-1)\cos^2 x=0$$
   $$ (1+\sqrt{3})(1-\cos^2 x)+2\sqrt{3}\sin x\cos x+(\sqrt{3}-1)\cos^2 x=0$$
   $$ -\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x+\sqrt{3}=0$$
   $$ \sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=-\sqrt{3}$$
   $$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac12\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
   $$ \sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
   $$ 2x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad 2x-\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
   $$ x=-\frac{\pi}{12}+\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

5. $$(2+\sqrt{3})\sin^2 x-(3+\sqrt{3})\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
   $$ (2+\sqrt{3})(1-\cos^2 x)-(3+\sqrt{3})\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
   $$ (1+\sqrt{3})\cos^2 x+(3+\sqrt{3})\sin x\cos x=2+\sqrt{3}$$
   $$ \cos x\bigl((1+\sqrt{3})\cos x+(3+\sqrt{3})\sin x\bigr)=2+\sqrt{3}$$
   $$ \sin(x+\alpha)=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{(1+\sqrt{3})^2+(3+\sqrt{3})^2}}$$
   $$ x+\alpha=\arcsin\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{(1+\sqrt{3})^2+(3+\sqrt{3})^2}}+2\pi k$$
   $$ x+\alpha=\pi-\arcsin\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{(1+\sqrt{3})^2+(3+\sqrt{3})^2}}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

6. $$(1+\sqrt{3})\sin^2 x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+(\sqrt{3}-1)\cos^2 x=0$$
   $$ -\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x+\sqrt{3}=0$$
   $$ \sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=-\sqrt{3}$$
   $$ \sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
   $$ 2x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad 2x-\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
   $$ x=-\frac{\pi}{12}+\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\; x=-\frac{\pi}{12}+\pi k,\; k\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; x=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in\mathbb Z$$

3) $$x=\frac12\arcsin\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{2\sqrt{3}+4}}-\frac{\alpha}{2}+\pi k,\; x=\frac{\pi}{2}-\frac12\arcsin\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{2\sqrt{3}+4}}-\frac{\alpha}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb Z$$

4) $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi k,\; x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb Z$$

5) $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi k,\; x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb Z$$