Упр.11.50 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$4\sin x-5\cos x=2$$

   Разделим обе части на $$\sqrt{4^2+(-5)^2}=\sqrt{41}$$:

   $$\frac{4}{\sqrt{41}}\sin x-\frac{5}{\sqrt{41}}\cos x=\frac{2}{\sqrt{41}}.$$

   Положим

   $$\sin \alpha=\frac{5}{\sqrt{41}},\qquad \cos \alpha=\frac{4}{\sqrt{41}},\qquad \alpha=\arcsin\frac{5}{\sqrt{41}}.$$

   Тогда

   $$\sin(x-\alpha)=\frac{2}{\sqrt{41}}.$$

   Отсюда

   $$x-\alpha=\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\alpha=\pi-\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=\arcsin\frac{5}{\sqrt{41}}+\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$x=\arcsin\frac{5}{\sqrt{41}}+\pi-\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$3\sin x+2\cos x=3$$

   Разделим на $$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$$:

   $$\frac{3}{\sqrt{13}}\sin x+\frac{2}{\sqrt{13}}\cos x=\frac{3}{\sqrt{13}}.$$

   Пусть

   $$\sin \alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},\qquad \cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},\qquad \alpha=\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}.$$

   Тогда

   $$\sin(x+\alpha)=\frac{3}{\sqrt{13}}.$$

   Отсюда

   $$x+\alpha=\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\alpha=\pi-\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\alpha=\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}$$, получаем

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$x=\pi-2\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$2\sin x+3\cos x=3$$

   Разделим на $$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$$:

   $$\frac{2}{\sqrt{13}}\sin x+\frac{3}{\sqrt{13}}\cos x=\frac{3}{\sqrt{13}}.$$

   Положим

   $$\sin \alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},\qquad \cos \alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},\qquad \alpha=\arcsin\frac{2}{\sqrt{13}}.$$

   Тогда

   $$\sin(x+\alpha)=\frac{3}{\sqrt{13}}.$$

   Следовательно,

   $$x+\alpha=\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\alpha=\pi-\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$x=\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}-\arcsin\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$x=\pi-\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}-\arcsin\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$4\sin x+5\cos x=-2$$

   Разделим на $$\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$$:

   $$\frac{4}{\sqrt{41}}\sin x+\frac{5}{\sqrt{41}}\cos x=-\frac{2}{\sqrt{41}}.$$

   Пусть

   $$\sin \alpha=\frac{4}{\sqrt{41}},\qquad \cos \alpha=\frac{5}{\sqrt{41}},\qquad \alpha=\arcsin\frac{4}{\sqrt{41}}.$$

   Тогда

   $$\sin(x+\alpha)=-\frac{2}{\sqrt{41}}.$$

   Отсюда

   $$x+\alpha=-\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\alpha=\pi+\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=-\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}-\arcsin\frac{4}{\sqrt{41}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$x=\pi+\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}-\arcsin\frac{4}{\sqrt{41}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$3\sin x-2\cos x=-3$$

   Разделим на $$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$$:

   $$\frac{3}{\sqrt{13}}\sin x-\frac{2}{\sqrt{13}}\cos x=-\frac{3}{\sqrt{13}}.$$

   Положим

   $$\sin \alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},\qquad \cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},\qquad \alpha=\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}.$$

   Тогда

   $$\sin(x-\alpha)=-\frac{3}{\sqrt{13}}.$$

   Отсюда

   $$x-\alpha=-\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\alpha=\pi+\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$x=\pi+2\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$2\sin x-3\cos x=0$$

   Разделим на $$\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$$:

   $$\frac{2}{\sqrt{13}}\sin x-\frac{3}{\sqrt{13}}\cos x=0.$$

   Пусть

   $$\sin \alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},\qquad \cos \alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},\qquad \alpha=\arcsin\frac{2}{\sqrt{13}}.$$

   Тогда

   $$\sin(x-\alpha)=0,$$

   значит,

   $$x-\alpha=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=\arcsin\frac{2}{\sqrt{13}}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

7. $$5\sin x+2\cos x=0$$

   Разделим на $$\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$$:

   $$\frac{5}{\sqrt{29}}\sin x+\frac{2}{\sqrt{29}}\cos x=0.$$

   Положим

   $$\sin \alpha=\frac{5}{\sqrt{29}},\qquad \cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{29}},\qquad \alpha=\arcsin\frac{5}{\sqrt{29}}.$$

   Тогда

   $$\sin(x+\alpha)=0,$$

   откуда

   $$x+\alpha=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=\pi n-\arcsin\frac{5}{\sqrt{29}},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\arcsin\frac{5}{\sqrt{41}}+\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}+2\pi n$$ или $$x=\arcsin\frac{5}{\sqrt{41}}+\pi-\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$x=2\pi n$$ или $$x=\pi-2\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

в) $$x=\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}-\arcsin\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n$$ или $$x=\pi-\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}-\arcsin\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$x=-\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}-\arcsin\frac{4}{\sqrt{41}}+2\pi n$$ или $$x=\pi+\arcsin\frac{2}{\sqrt{41}}-\arcsin\frac{4}{\sqrt{41}}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

д) $$x=2\pi n$$ или $$x=\pi+2\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

е) $$x=\arcsin\frac{2}{\sqrt{13}}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

ж) $$x=\pi n-\arcsin\frac{5}{\sqrt{29}},\ n\in\mathbb Z.$$