Упр.11.49 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$3\sin x+4\cos x=5$$

   Делим на $$5$$:

   $$\frac35\sin x+\frac45\cos x=1$$

   Пусть $$\alpha=\arcsin\frac35$$, тогда $$\cos\alpha=\frac45$$. Получаем:

   $$\sin x\cos\alpha+\cos x\sin\alpha=1$$

   $$\sin(x+\alpha)=1$$

   Следовательно,

   $$x+\alpha=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac35+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

2. $$3\sin x-4\cos x=-5$$

   Делим на $$5$$:

   $$\frac35\sin x-\frac45\cos x=-1$$

   Пусть $$\alpha=\arcsin\frac35$$, тогда $$\cos\alpha=\frac45$$. Тогда

   $$\sin x\cos\alpha-\cos x\sin\alpha=-1$$

   $$\sin(x-\alpha)=-1$$

   Отсюда

   $$x-\alpha=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

   $$x=\arcsin\frac35-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

3. $$4\sin x-3\cos x=5$$

   Делим на $$5$$:

   $$\frac45\sin x-\frac35\cos x=1$$

   Пусть $$\alpha=\arcsin\frac45$$, тогда $$\cos\alpha=\frac35$$. Получаем:

   $$\sin x\cos\alpha-\cos x\sin\alpha=1$$

   $$\sin(x-\alpha)=1$$

   Следовательно,

   $$x-\alpha=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

   $$x=\arcsin\frac45+\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

4. $$4\sin x+3\cos x=-5$$

   Делим на $$5$$:

   $$\frac45\sin x+\frac35\cos x=-1$$

   Пусть $$\alpha=\arcsin\frac45$$, тогда $$\cos\alpha=\frac35$$. Тогда

   $$\sin x\cos\alpha+\cos x\sin\alpha=-1$$

   $$\sin(x+\alpha)=-1$$

   Отсюда

   $$x+\alpha=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

   $$x=-\arcsin\frac45-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

5. $$5\sin x+12\cos x=13$$

   Делим на $$13$$:

   $$\frac5{13}\sin x+\frac{12}{13}\cos x=1$$

   Пусть $$\alpha=\arcsin\frac5{13}$$, тогда $$\cos\alpha=\frac{12}{13}$$. Получаем:

   $$\sin(x+\alpha)=1$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac5{13}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

6. $$5\sin x-12\cos x=-13$$

   Делим на $$13$$:

   $$\frac5{13}\sin x-\frac{12}{13}\cos x=-1$$

   Пусть $$\alpha=\arcsin\frac5{13}$$, тогда $$\cos\alpha=\frac{12}{13}$$. Тогда

   $$\sin(x-\alpha)=-1$$

   Отсюда

   $$x=\arcsin\frac5{13}-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

7. $$12\sin x-5\cos x=13$$

   Делим на $$13$$:

   $$\frac{12}{13}\sin x-\frac5{13}\cos x=1$$

   Пусть $$\alpha=\arcsin\frac{12}{13}$$, тогда $$\cos\alpha=\frac5{13}$$. Получаем:

   $$\sin(x-\alpha)=1$$

   Следовательно,

   $$x=\arcsin\frac{12}{13}+\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

8. $$12\sin x+5\cos x=-13$$

   Делим на $$13$$:

   $$\frac{12}{13}\sin x+\frac5{13}\cos x=-1$$

   Пусть $$\alpha=\arcsin\frac{12}{13}$$, тогда $$\cos\alpha=\frac5{13}$$. Тогда

   $$\sin(x+\alpha)=-1$$

   Отсюда

   $$x=-\arcsin\frac{12}{13}-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac35+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;$$
$$x=\arcsin\frac35-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;$$
$$x=\arcsin\frac45+\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;$$
$$x=-\arcsin\frac45-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;$$
$$x=\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac5{13}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;$$
$$x=\arcsin\frac5{13}-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;$$
$$x=\arcsin\frac{12}{13}+\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;$$
$$x=-\arcsin\frac{12}{13}-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$