Упр.11.47 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) $$\sin 2x>0$$
Положим $$t=2x$$. Тогда
$$\sin t>0.$$
Отсюда
$$2\pi n<t<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем
$$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin 3x<0$$
Пусть $$t=3x$$. Тогда
$$\sin t<0,$$
значит
$$\pi+2\pi n<t<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)>0$$
Положим
$$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}.$$
Тогда
$$\cos t>0,$$
а значит
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Подставим $$t$$:
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Прибавим $$\frac{\pi}{4}$$ и умножим на $$2$$:
$$-\frac{\pi}{2}+4\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$\cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)<0$$
Пусть
$$t=\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}.$$
Тогда
$$\cos t<0,$$
следовательно,
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Отсюда
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$
Вычтем $$\frac{\pi}{3}$$ и умножим на $$3$$:
$$\frac{\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{7\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
д) $$\tg(-2x)>0$$
Положим $$t=-2x$$. Тогда
$$\tg t>0,$$
а значит
$$\pi n<t<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi n}{2}<x<-\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
е) $$\tg\left(-3x+\frac{\pi}{4}\right)<0$$
Пусть
$$t=-3x+\frac{\pi}{4}.$$
Тогда
$$\tg t<0,$$
значит
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<t<\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Подставим $$t$$:
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<-3x+\frac{\pi}{4}<\pi n.$$
Вычтем $$\frac{\pi}{4}$$ и разделим на $$-3$$, меняя знаки неравенств:
$$\frac{\pi}{12}-\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{4}-\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
ж) $$\ctg\left(-3x-\frac{\pi}{6}\right)>0$$
Положим
$$t=-3x-\frac{\pi}{6}.$$
Тогда
$$\ctg t>0,$$
а значит
$$\pi n<t<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$\pi n<-3x-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
Отсюда
$$-\frac{\pi}{9}-\frac{\pi n}{3}<x<-\frac{\pi}{18}-\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
з) $$\ctg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)<0$$
Пусть
$$t=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}.$$
Тогда
$$\ctg t<0,$$
значит
$$\frac{\pi}{2}+\pi n<t<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Подставим $$t$$:
$$\frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}<\pi+\pi n.$$
Вычтем $$\frac{\pi}{6}$$ и умножим на $$2$$:
$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right),\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+4\pi n;\frac{3\pi}{2}+4\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+6\pi n;\frac{7\pi}{2}+6\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$;
д) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi n}{2};-\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb Z$$;
е) $$x\in\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\pi n}{3};\frac{\pi}{4}-\frac{\pi n}{3}\right),\ n\in\mathbb Z$$;
ж) $$x\in\left(-\frac{\pi}{9}-\frac{\pi n}{3};-\frac{\pi}{18}-\frac{\pi n}{3}\right),\ n\in\mathbb Z$$;
з) $$x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$.