Упр.11.46 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) Пусть $$t=\sin x,$$ тогда $$t\in[-1;1],\ t\ne 0.$$

   $$\sin x-\frac{6}{\sin x}+1>0$$
   $$\frac{t^2+t-6}{t}>0$$
   $$\frac{(t-2)(t+3)}{t}>0$$

   С учётом $$t\in[-1;1]$$ получаем $$-2<t<0.$$

   Значит, $$\sin x<0,$$ то есть

   $$\pi+2\pi k<x<2\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. б) Пусть $$t=\sin x,$$ тогда $$t\in[-1;1],\ t\ne 0.$$

   $$\sin x+\frac{6}{\sin x}+5<0$$
   $$\frac{t^2+5t+6}{t}<0$$
   $$\frac{(t+2)(t+3)}{t}<0$$

   С учётом $$t\in[-1;1]$$ получаем $$-1<t<0.$$

   Значит, $$\sin x<0,$$ то есть

   $$\pi+2\pi k<x<2\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. в) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$t\in[-1;1],\ t\ne 0.$$

   $$\cos x-\frac{2}{\cos x}+1<0$$
   $$\frac{t^2+t-2}{t}<0$$
   $$\frac{(t+2)(t-1)}{t}<0$$

   С учётом $$t\in[-1;1]$$ получаем $$0<t<1.$$

   Значит,

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<x<0+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

   $$0+2\pi k<x<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. г) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$t\in[-1;1],\ t\ne 0.$$

   $$\cos x+\frac{3}{\cos x}-4>0$$
   $$\frac{t^2-4t+3}{t}>0$$
   $$\frac{(t-1)(t-3)}{t}>0$$

   С учётом $$t\in[-1;1]$$ получаем $$0<t<1.$$

   Значит,

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<x<0+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

   $$0+2\pi k<x<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

5. д) Пусть $$t=\tan x,$$ тогда $$t\in\mathbb R,\ t\ne 0.$$

   $$\tan x-\frac{4}{\tan x}+3<0$$
   $$\frac{t^2+3t-4}{t}<0$$
   $$\frac{(t+4)(t-1)}{t}<0$$

   Отсюда $$t<-4$$ или $$0<t<1.$$

   Значит,

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi k<x<\arctan(-4)+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

   $$\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

6. е) Пусть $$t=\tan x,$$ тогда $$t\in\mathbb R,\ t\ne 0.$$

   $$\tan x-\frac{1}{\tan x}>0$$
   $$\frac{t^2-1}{t}>0$$
   $$\frac{(t-1)(t+1)}{t}>0$$

   Отсюда $$-1<t<0$$ или $$t>1.$$

   Значит,

   $$-\frac{\pi}{4}+\pi k<x<0+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

   $$\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

7. ж) Пусть $$t=\cot x,$$ тогда $$t\in\mathbb R,\ t\ne 0.$$

   $$\cot x-\frac{3}{\cot x}<0$$
   $$\frac{t^2-3}{t}<0$$
   $$\frac{(t-\sqrt3)(t+\sqrt3)}{t}<0$$

   Отсюда $$t<-\sqrt3$$ или $$0<t<\sqrt3.$$

   Значит,

   $$\frac{\pi}{6}+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

   $$\frac{\pi}{3}+\pi k<x&lt{\pi}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

8. з) Пусть $$t=\cot x,$$ тогда $$t\in\mathbb R,\ t\ne 0.$$

   $$\cot x-\frac{4}{\cot x}+3>0$$
   $$\frac{t^2+3t-4}{t}>0$$
   $$\frac{(t+4)(t-1)}{t}>0$$

   Отсюда $$-4<t<0$$ или $$t>1.$$

   Значит,

   $$\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

   $$0+\pi k<x<\arctan 1+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in(\pi+2\pi k;\,2\pi+2\pi k),\ k\in\mathbb Z.$$
б) $$x\in(\pi+2\pi k;\,2\pi+2\pi k),\ k\in\mathbb Z.$$
в) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,0+2\pi k\right)\cup\left(0+2\pi k;\,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
г) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,0+2\pi k\right)\cup\left(0+2\pi k;\,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
д) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\arctan(-4)+\pi k\right)\cup\left(\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
е) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
ж) $$x\in\left(\frac{\pi}{6}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
з) $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\cup\left(\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$