Упр.11.45 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) Пусть $$t=\sin x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$.
$$8\sin^2 x+2{,}5\sin x+1<0 \;\Longrightarrow\; 8t^2+2{,}5t+1<0.$$
$$D=2{,}5^2-4\cdot 8\cdot 1=6{,}25-32<0.$$
Квадратный трёхчлен всегда положителен, значит решений нет.
б) Пусть $$t=\sin x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$.
$$8\sin^2 x-3{,}5\sin x-2>0 \;\Longrightarrow\; 8t^2-3{,}5t-2>0.$$
$$D=(-3{,}5)^2-4\cdot 8\cdot(-2)=12{,}25+64=76{,}25.$$
$$t_{1,2}=\frac{3{,}5\pm\sqrt{76{,}25}}{16}=\frac{3{,}5\pm 8{,}75}{16}.$$
$$t_1=-\frac12,\qquad t_2=\frac34.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$t<-\frac12 \quad \text{или} \quad t>\frac34.$$
С учётом $$t=\sin x$$ получаем
$$\sin x<-\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x>\frac34.$$
$$x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right)\cup\left(\arcsin\frac34+2\pi k;\,\pi-\arcsin\frac34+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
в) Пусть $$t=\cos x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$.
$$2\cos^2 x-3\sqrt3\cos x+3<0 \;\Longrightarrow\; 2t^2-3\sqrt3\,t+3<0.$$
$$D=(3\sqrt3)^2-4\cdot 2\cdot 3=27-24=3.$$
$$t_{1,2}=\frac{3\sqrt3\pm\sqrt3}{4}=\sqrt3,\;\frac{\sqrt3}{2}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$\frac{\sqrt3}{2}<t<\sqrt3.$$
Но $$t=\cos x\le 1$$, значит остаётся
$$\cos x>\frac{\sqrt3}{2}.$$
$$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
г) Пусть $$t=\cos x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$.
$$2\cos^2 x+3\sqrt3\cos x+3>0 \;\Longrightarrow\; 2t^2+3\sqrt3\,t+3>0.$$
$$D=27-24=3,$$
$$t_{1,2}=\frac{-3\sqrt3\pm\sqrt3}{4}=-\sqrt3,\;-\frac{\sqrt3}{2}.$$Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$t<-\sqrt3 \quad \text{или} \quad t>-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Первое неравенство невозможно, поэтому
$$\cos x>-\frac{\sqrt3}{2}.$$
$$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
д) Пусть $$t=\tan x$$, тогда $$t\in\mathbb R$$.
$$\tan^2 x-3\tan x-4<0 \;\Longrightarrow\; t^2-3t-4<0.$$
$$(t-4)(t+1)<0.$$
$$-1<t<4.$$
Следовательно,
$$-\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\arctan 4+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
е) Пусть $$t=\tan x$$, тогда $$t\in\mathbb R$$.
$$\tan^2 x+3\tan x+2>0 \;\Longrightarrow\; t^2+3t+2>0.$$
$$(t+1)(t+2)>0.$$
$$t<-2 \quad \text{или} \quad t>-1.$$
Значит,
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\arctan 2+\pi k\right)\cup\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
ж) Пусть $$t=\cot x$$, тогда $$t\in\mathbb R$$, $$t\ne 0$$.
$$\cot^2 x-4\cot x+3<0 \;\Longrightarrow\; t^2-4t+3<0.$$
$$(t-1)(t-3)<0.$$
$$1<t<3.$$
Следовательно,
$$\operatorname{arcctg}3+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
з) Пусть $$t=\cot x$$, тогда $$t\in\mathbb R$$, $$t\ne 0$$.
$$\cot^2 x+\cot x-4>0 \;\Longrightarrow\; t^2+t-4>0.$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$t<\frac{-1-\sqrt{17}}{2} \quad \text{или} \quad t>\frac{-1+\sqrt{17}}{2}.$$
Значит,
$$x\in\left(\operatorname{arcctg}\frac{-1-\sqrt{17}}{2}+\pi k;\,\operatorname{arcctg}\frac{-1+\sqrt{17}}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) решений нет;
б) $$x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right)\cup\left(\arcsin\frac34+2\pi k;\,\pi-\arcsin\frac34+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;$$
в) $$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{\pi}{6}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;$$
г) $$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;$$
д) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\arctan 4+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;$$
е) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\arctan 2+\pi k\right)\cup\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;$$
ж) $$x\in\left(\operatorname{arcctg}3+\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;$$
з) $$x\in\left(\operatorname{arcctg}\frac{-1-\sqrt{17}}{2}+\pi k;\,\operatorname{arcctg}\frac{-1+\sqrt{17}}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
